Что больше?

[NoSmoking!]

Не подскажите что больше - $ \sin 2 $ или $ \log_{3}{2} $ и почему?

[Бодигрим]

Во-первых, $\sin 2>\sin(2\pi/3)$.
Во-вторых, $3^2>2^3$.

[worm2]

Можно так.
$ \sin 2 $ = $2\sin 1\cos 1$ > $2 \left(1-\frac{1}{6}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)$ (почему?)
$ \log_{3}{2} $ < $\ln 2$ < $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ (почему?)

[Профессор Снэйп]

$$ \sin 2 \approx 0,034899496702500971645995181625333 $$

$$ \log_3 2 \approx 0,63092975357145743709952711434276 $$

Первое число примерно в 18 раз меньше второго!!

[Бодигрим]

Профессор Снэйп, вы посчитали синус от 2 градусов, а я и worm2 - от 2 радиан.

[Профессор Снэйп]

Бодигрим писал(а):

Профессор Снэйп, вы посчитали синус от 2 градусов, а я и worm2 - от 2 радиан.

А-а-а, у меня на калькуляторе градусы стоят. Не заметил!!!

Делаю поправку: $\sin 2 \approx 0,90929742682568169539601986591174$.

[e2e4]

Профессор Снэйп, довольно классическая искусственная задача на вступительных экзаменах. Как в геометрии есть жанр "построить только с помощью циркуля и линейки...", так и тут - "оценить только с помощью листка бумаги и ручки" .

worm2, я тоже думал, ничего кроме приближающих рядов не надумал. Однако мне кажется, в Вашем решении еще требуется доказать, что кол-во членов ряда взято достаточное, чтобы дать точный ответ на поставленный вопрос.

Добавлено спустя 23 секунды:

Бодигрим писал(а):

Во-первых, $\sin 2>\sin(2\pi/3)$.
Во-вторых, $3^2>2^3$.

Это то ясно. Неясно, что делать дальше.

[Бодигрим]

e2e4 писал(а):

Бодигрим писал(а):

Во-первых, $\sin 2>\sin(2\pi/3)$.
Во-вторых, $3^2>2^3$.

Это то ясно. Неясно, что делать дальше.

Тогда $\sin 2>\sqrt3/2$, а $\log_3 2<2/3$. Теперь, чтобы показать, что $\sin 2>\log_3 2$, достаточно показать, что $\sqrt3/2>2/3$.

Добавлено спустя 10 минут 21 секунду:

Цитата:

worm2, я тоже думал, ничего кроме приближающих рядов не надумал. Однако мне кажется, в Вашем решении еще требуется доказать, что кол-во членов ряда взято достаточное, чтобы дать точный ответ на поставленный вопрос.

Соответствующие ряды знакопеременные. Так что по теореме о знаке погрешности в знакопеременном ряде
$\sin 1> 1-1/6$, $\cos 1>1-1/2 $ и $\ln 3<1-1/2+1/3$.

[e2e4]

Бодигрим, спасибо за пояснение - мне теперь все ясно.

Однако, остаются сомнения в том, что поступающий в ВУЗ обязан помнить $\sqrt{3}$ хотя бы до 2-х знаков после запятой, и также знать "теорему о знаке погрешности в знакопеременном ряде" (лично я о ней в первый раз слышу), точнее нам это преподносили в ВУЗ'е (2-й курс!), если не ошибаюсь, не как теорему, а как довольно простой факт (очень смутные воспоминания, могу ошибаться!). В любом случае, выпускник школы практически ничего о рядах знать не должен.

Хотя, конечно, такие задачи сводятся к каким-нибудь константам, которые, по предположению, выпускник школы должен знать, хотя обязательность такого знания довольно спорно.

[Бодигрим]

e2e4 писал(а):

Однако, остаются сомнения в том, что поступающий в ВУЗ обязан помнить $\sqrt{3}$ хотя бы до 2-х знаков после запятой, и также знать "теорему о знаке погрешности в знакопеременном ряде" (лично я о ней в первый раз слышу).

Знать численное значение $\sqrt3$ вовсе не обязательно. Обе части доказываемого неравенства $\sqrt{3}/2>2/3$ положительны, так что можем возвести в квадрат. Получим $3/4>4/9$, а это неравенство очевидно.

Что касается теоремы о знаке погрешности - так абитуриент вообще вряд ли проходил в школе разложение в ряд Тейлора.

[e2e4]

Бодигрим писал(а):

Знать численное значение $\sqrt3$ вовсе не обязательно. Обе части доказываемого неравенства $\sqrt{3}/2>2/3$ положительны, так что можем возвести в квадрат. Получим $3/4>4/9$, а это неравенство очевидно.

Ой точно!