Предел сдвигов тригонометрических многочленов

[demolishka]

Пусть $f(t) = \sum\limits_{k=0}^{N}A_k\sin(\varphi_k t) + \sum\limits_{k=0}^{N}B_k \cos(\mu_k t)$ вещественный тригонометрический многочлен в широком смысле, т.е. $A_k,B_k,\varphi_k,\mu_k \in \mathbb{R}.$
Рассмотрим последовательность сдвигов $f_{t_n}(t) = f(t+t_n)$. Предположим, что имеет место равномерная сходимость $f_{t_n} \to g$ при $n \to \infty$.

Будет ли $g$ тригонометрическим многочленом и что можно сказать о сходимости производных $f'_{t_n}$ к $g'$?

Из теории почти периодических функций известно, что $g$ тоже п.п. функция, при этом экспоненты Фурье функции $f$ сходятся к экспонентам Фурье функции $g$. Поэтому $g$ также будет тригонометрическим многочленом.

Из последовательности $f'_{t_n} = f'(t+t_n)$ можно выбрать равномерно сходящуюся. Из известной теоремы анализа вытекает, что $f'_{t_{n_k}} \to g'$ при $k \to \infty.$
Но вот будет ли вся последовательность $f'_{t_n}$ сходящейся?

[DeBill]

Видимо, будет...

Можно прикинуть, как доказывать утверждение о сходимости, сформулированное Вами, и попытаться это док-во адаптировать...
Из равномерной сходимости функций следует равномерная сходимость (на любом конечном промежутке) первообразных ( а также и вторых первообразных) . Складывая с исходной последовательностью (с подходящим к-том), убьем одно слагаемое. Индукция сведет все к одному слагаемому, это даст информацию о сходимости последовательности сдвигов: они сходятся - по модулю периода оставшегося слагаемого... А для триг. многочленов - что производная, что интеграл - почти одно и то же...
(Это - не решение, а так, соображения, мобыть, и полезные...)