Гессиан с условием

[AndreyL]

Друзья! Возникла такая задача:
Есть функция $F(X)$, где $X$ - вектор длиной $m$. Кроме того есть условие $G(X)=0$. Как найти Гессиан функции $F(X)$ при условии $G(X)=0$?

[Brukvalub]

AndreyL в сообщении #1109475 писал(а):

Как найти Гессиан функции $F(X)$ при условии $G(X)=0$?

А что это такое :"Гессиан функции"

[AndreyL]

Brukvalub в сообщении #1109491 писал(а):

А что это такое :"Гессиан функции"

Тут более подробно:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B0%D0%BD_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8

[demolishka]

Обычно такая задача возникает при поиске условного экстремума. Нужно найти касательное пространство к поверхности $G(X)=0$ и посмотреть как на нем выглядит квадратичная форма.

[AndreyL]

Пока для простоты можно принять, что $G(X)=X(1:p)X(1:p)'-1$, т.е. евклидова норма некоторого подвектора длиной $p \leq m$ исходного вектора $X$ равна единице.

[dsge]

AndreyL в сообщении #1109475 писал(а):

где $X$ - вектор длиной $m$.

AndreyL в сообщении #1109621 писал(а):

что $G(X)=X(1:p)X(1:p)'-1$, т.е. евклидова норма некоторого подвектора длиной $p \leq m$ исходного вектора $X$ равна единице.

Обычно длиной вектора называют его евклидову норму.

[AndreyL]

dsge в сообщении #1109632 писал(а):

Обычно длиной вектора называют евклидову норму.

Если то-же самое в виде суммы, то так $G(X)=\sum_{i=1}^p x_i^2-1$, под суммой квадрат евклидовой нормы первых $p$ элементов вектора $X$, остальные $m-p$ элементов вектора $X$ в $G(X)$ не участвуют.

[AndreyL]

Чуть видоизменим задачу. Предположим, есть два типа переменных, $X$ длиной $p$ и $Y$ длиной $m$, функция $F(X,Y)$ реально зависит только от $X$, т.е. $F(X,Y)=F(X)$, но с ограничениями $G(X,Y)=0$.
Правильно ли, что $\frac{\partial F}{\partial Y_k}=\sum_{i=1}^p\frac{\partial F}{\partial X_i}\frac{\partial X_i}{\partial Y_k}$ ? И, еще, правильно ли, что $\frac{\partial X_i}{\partial Y_k}=-\frac{\partial G}{\partial Y_k} \big/ \frac{\partial G}{\partial X_i}$. И тогда $\frac{\partial F}{\partial Y_k}=-\sum_{i=1}^p\frac{\partial F}{\partial X_i}\frac{\partial G}{\partial Y_k} \big/ \frac{\partial G}{\partial X_i}$