Энергия электрополя

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Уважаемые, помогите плз разобраться с задачами:
1. Две параллельные пластины одинаковой площади заряжены с поверхностными плотностями зарядов $ \sigma_1 = 4, \sigma_2 = 3 $ мкКл/кв.м, расстояние между пластинами много меньше их линейных размеров, $ \varepsilon = 1 $. Посередине между пластинами вставляется третья пластина той же площади с поверхностной плотностью заряда $ \sigma_3 = - \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} $. Во сколько раз изменится при этом энергия электростатического поля, локализованного между пластинами 1 и 2?


1. Нахожу энергию поля между пластинами 1 и 2 до внесения пластины 3:

$ W' = \frac{\varepsilon_0 E_{12}^2}{2} V$, где: $V$ - объем пространства между пластинами 1 и 2 и:

$ E_{12} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2\varepsilon_0} $

2. Нахожу энергию поля между пластинами 1, 2 и 3 после внесения пластины 3. Правильно ли я понимаю, что полная энергия системы из 3-х пластин - это сумма энергий, сосредоточенных между 1-3 и 2-3 вместе?

$ W''= W_{13} + W_{23} = \frac{\varepsilon_0 E_{13}^2}{2} V + \frac{\varepsilon_0 E_{23}^2}{2} V $ , где: т.к.: $ \sigma_3 = - \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} $

$ E_{13} = \frac{\sigma_1 + \sigma_3 - \sigma_2}{2 \varepsilon_0} = \frac{\sigma_1 + \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} - \sigma_2}{2 \varepsilon_0}$

$ E_{23} = \frac{\sigma_2 + \sigma_3 - \sigma_1}{2 \varepsilon_0} = \frac{\sigma_2 + \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} - \sigma_1}{2 \varepsilon_0}$. учел знак $ \sigma_3$

Правильно ли до сих пор?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1109544 писал(а):

Правильно ли до сих пор?

Объем $V$ в пункте 1 и в пункте 2 различается вдвое. И $\sigma_3$ входит с неправильным знаком.

[Stensen]

DimaM в сообщении #1109549 писал(а):

Объем $V$ в пункте 1 и в пункте 2 различается вдвое.

Да, ошибся, должно быть так: $ W''= W_{13} + W_{23} = \frac{\varepsilon_0 E_{13}^2}{2} \frac{V}{2} + \frac{\varepsilon_0 E_{23}^2}{2} \frac{V}{2} $

DimaM в сообщении #1109549 писал(а):

И $\sigma_3$ входит с неправильным знаком.

Я исходил из следующего рисунка, т.к.: $ \sigma_3 < 0 $, то я выбрал направление $E_3$ сонаправленно с $E_1$ и $E_2$



Суммируя вектора согласно стрелочкам: $ E_{13} = E_1 + E_3 , E_{23} = E_2 + E_3 $ , где:

$E_1 = \frac{\sigma_1}{2 \varepsilon_0}$

$E_2 = \frac{\sigma_2}{2 \varepsilon_0}$,

$E_3 = \frac{- \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2}}{2 \varepsilon_0}$, но сонаправленно с $E_1$ и $E_2$, поэтому: $E_3$ ведь тоже должен входить с плюсом (как модуль), т.к. и я учел это выбором направления стрелок на рис., разве не так?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1109581 писал(а):

разве не так?

Вы, по-моему, уже не в первый раз таким же образом себя запутываете. Зачем?
Представляйте, что $\sigma_3$ положительная, получайте формулы, а затем подставляйте значение. Все.

[Stensen]

DimaM в сообщении #1109590 писал(а):

Stensen в сообщении #1109581 писал(а):

разве не так?

Вы, по-моему, уже не в первый раз таким же образом себя запутываете. Зачем?
Представляйте, что $\sigma_3$ положительная, получайте формулы, а затем подставляйте значение. Все.

Согласен, перемудрил. Подумал, что если знак заряда явно указан, то можно и так, но вижу действительно запутанно. $E_3 $ на рис.нужно направить в разные стороны от пластины 3, тогда:

$ E_{13} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3 - \sigma_2}{2 \varepsilon_0} $

$ E_{23} = \frac{\sigma_2 - \sigma_3 - \sigma_1}{2 \varepsilon_0} $, где:

$ \sigma_3 = - \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} $. Несколько раз проверял: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{5(\sigma_1^2 + \sigma_2^2) - 6\sigma_1\sigma_2}{4(\sigma_1 - \sigma_2)^2}$

но в задачнике: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{2(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)}{(\sigma_1 - \sigma_2)^2}$, подскажите плз, может ошибка в задачнике?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1109595 писал(а):

подскажите плз, может ошибка в задачнике?

У меня получается так же, как у вас.

[Stensen]

DimaM в сообщении #1109601 писал(а):

Stensen в сообщении #1109595 писал(а):

подскажите плз, может ошибка в задачнике?

У меня получается так же, как у вас.

Спасибо!