Композиция нормальных законов и бимодальный закон

[Vanish]

Здравствуйте.
Помогите разобраться с кашей в голове.
Пусть имеются две случайных величины, распределенных по нормальному закону $X_1, X_2$ и их плотности вероятности $f1(x1), f2(x2)$.
Пусть имеется случайная величина $Y=X_1+X_2$.
Вопрос, каков закон распределения данной случайной величины $Y$.
Как я понимаю, в случае если $X_1$ и $X_2$ независимы, плотность вероятности $Y$ определяется сверткой $g(y)=f1(x1)*f2(x2)$. При этом известно, что свертка нормальных распределений - нормальный закон.
Вопрос: при каких условиях возникает бимодальный закон (с двумя колоколообразными вершинами)?? Разве не суммированием (сверткой) двух нормальных величин?? Не понимаю

[--mS--]

Бимодальное распределение получится, если складывать не случайные величины (независимые), а их плотности. С весами. Плотность его есть $f(x)=\alpha f_1(x)+(1-\alpha)f_2(x)$. Это распределение случайной величины, которая с вероятностью $\alpha$ равна $X_1$, а с вероятностью $1-\alpha$ равна $X_2$.
Например, $X=\varphi X_1+(1-\varphi) X_2$, где $\varphi$ имеет распределение Бернулли с параметром $\alpha$ и не зависит от произвольно зависимых $X_1, X_2$.

[Vanish]

Цитата:

Например, $X=\varphi X_1+(1-\varphi) X_2$, где $\varphi$ имеет распределение Бернулли с параметром $\alpha$ и не зависит от произвольно зависимых $X_1, X_2$.

Ага. То есть получается, что бимодальный закон - это композиция нормальных законов с вероятностными коэффициентами (которые также являются случайными), правильно? Тогда нам надо сворачивать не чисто нормальные законы, а их произведения на коэффициенты?
Вы пишите о сумме плотностей вероятности. Можно ли складывать в явном виде плотности вероятности? Или надо проводить это через свертку? Поясните, пожалуйста, и этот момент, если можно.

[Red_Herring]

Vanish в сообщении #1108576 писал(а):

Вы пишите о сумме плотностей вероятности. Можно ли складывать в явном виде плотности вероятности? Или надо проводить это через свертку? Поясните, пожалуйста, и этот момент, если можно.

Зависит от того, что Вы делаете. Если у Вас есть 2 независимые случайные величины и Вы их складываете, то свёртка.

А теперь совсем другая задача: допустим у Вас есть 2 случайные величины. Плюс испытание с 2мя исходами. В случае первого исхода Вы берёте значение первой с.в., а в случае 2го--второй. Тогда никаких свёрток, а складываете плотности с весами. Пример: один и тот же курс по математике берут физики и лирики. С.в. это оценка случайно взятого студента. И у физиков и у лириков распределение оценок нормальное (но с разными параметрами), а по курсу--бимодальное.

[--mS--]

Vanish в сообщении #1108576 писал(а):

Тогда нам надо сворачивать не чисто нормальные законы, а их произведения на коэффициенты?

Сворачивать тут уже ничего не удастся, поскольку произведения $\varphi X_i$ и зависимы и плотности не имеют, да и ни к чему. Плотность выписана выше, она не свёртка, а линейная комбинация.

[Vanish]

Большое спасибо --mS-- и Red_Herring за пояснения и содержательные ответы, разобрался, понял!

[sergei1961]

Остался интересный вопрос: какую операцию надо произвести над самими случайными величинами, чтобы их плотности сложились, или образовали указанную выпуклую линейную комбинацию?

[--mS--]

А найти выше никак?