2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать непрерывность оператора
Сообщение23.03.2016, 22:56 


28/03/15
10
Здравствуйте, подскажите как подойти к таким вот задачам (Зорич глава 10 §2 упр 1a) .
Если $A: X \to Y$ линейный оператор из нормированного пространства в X в нормированное пространство Y и X конечномерно, то А непрерывный оператор.

Если оператор имеет конечную норму и ограничен то это и будет значить непрерывность. Получается, надо показать существование конечной нормы или ограниченность. Известно что
$\left\lVert A\rVert =\sup|Ae| \right$ и $|Ax|\leq \lVert A \rVert |x|$ Если $\lVert x \rVert=\sum\limits_{1}^{n}|x_ie_i| \leq1$ Тогда $\lvert Ax \rvert\leq\sup|Ae_i||\sum\limits_{1}^{n}x_ie_i|\leq C \lVert x\rVert$ где $C=\max{Ae_i}$ Чего то не хватает еще, но не понимаю чего. Какие есть иные варианты доказательства?

Пункт б там же, доказать то же самое для полилинейных операторов. Интуитивно: полилинейный оператор это определитель матрицы для случая R. Если выбрать базисные векторы так что объем будет равен единице то и будет ограниченность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать непрерывность оператора
Сообщение23.03.2016, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Такой оператор достаточно знать на базисе, и он записывается явной формулой, после чего все будет очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать непрерывность оператора
Сообщение24.03.2016, 02:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
arkitch в сообщении #1108721 писал(а):
линейный оператор из нормированного пространства в X в нормированное пространство Y и X конечномерно, то А непрерывный оператор.

Brukvalub в сообщении #1108724 писал(а):
Такой оператор достаточно знать на базисе

Не надо вообще ничего знать. Образ этого оператора тупо конечномерен и потому вопрос о его (не)ограниченности сугубо празден. Совершенно непонятно, зачем он Зоричу понадобился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать непрерывность оператора
Сообщение25.03.2016, 21:41 


28/03/15
10
Подскажите еще такую задачу: Два линейных нормированных пространства изоморфны, если существует такой изоморфизм между ними (как линейными векторными) который вместе с ему обратным является непрерывным линейным оператором. Показать что линейные нормированные пространства одинаковой конечной размерности изоморфны.

Для линейных векторных изоморфизм вытекает из:
$f(\sum\limits_{l=1}^{m}a_il_i)=\sum\limits_{l=1}^{m}a_im_i$ и наоборот для $A^-1$
Это для линейных. Но тут никаким боком непрерывность. Быть может можно использовать из предыдущей задачи что ограниченность значит непрерывность. И так для $А, А^-1$. Или композицию $АА^-1$ и неравенство треугольника а затем ограниченность каждого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать непрерывность оператора
Сообщение25.03.2016, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
arkitch в сообщении #1109159 писал(а):
Но тут никаким боком непрерывность.

А что вам известно о различных нормированиях конечномерных в.п.?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать непрерывность оператора
Сообщение26.03.2016, 08:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
arkitch в сообщении #1109159 писал(а):
Показать что линейные нормированные пространства одинаковой конечной размерности изоморфны.

Это называется не задачей, а теоремой об эквивалентности всех норм в конечномерном пространстве.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group