Редукция в ВТФ

[lasta]

Подробнее об идее доказательства
База для редукции.
1. Сумма и разность не соседних степеней с простым показателем $p>2$ всегда можно представить составными числами. Это важное общее свойство всех степеней, отличающее их от квадратов, тройки решения которых могут быть как составными, так и простыми числами.
2. Разность степеней $V_{a-d}=a^p-(a-d)^p$ в сумме с соответствующей степенью – является степенью. (нижний индекс численно равен основанию вычитаемой степени). Это простейшее свойство приводит к важному соотношению, позволяющему делать логические выводы без применения сложных алгебраических преобразований. Пусть $c-b=d$Тогда

$$a^p=V_{a-d}+(a-d)^p=V_{a-d}+(a-(c-b))^p=V_{a-d}+f^p \qquad \e(2.1)$$

Где $f^p=(a+b-c)^p$ - известная степень c делителем

$$F_1=p(a+b)(c-a)(c-b), \qquad \forall f^p, p<2\qquad \e(2.2)$$

Из (2.1) видно, что при $(b,c) \in \mathbb N$ и иррациональным $a,\qquad f^p$ - не будет степенью натурального числа. А редукция же, при которой используется $f^p$, возможна только при натуральных числах. Поэтому рассматривается вариант с натуральными числами. И требуется доказать, что в этом случае $f^p$ не может быть степенью натурального числа.
3. В (2.1) преобразуем разность степеней $V_{a-d}$ в сумму с количеством слагаемых больше произвольного составного числа. Такой является сумма вторых разностей степеней $W_i$, определяемых по правилу $W_i=V_{i+1}-V_{i-d}$,

$$V_{a-d}=\sum_0^{a-d}{W_i}\qquad \e(3.1)$$

Так как $a-d=(a+b-c)$, то количество слагаемых больше составного числа $a+b-c$
4. Существование $f^p$ в виде степени натурального числа обеспечивает существование всего ряда степеней меньших $f^p$
5. Существование разности степеней $V_{a-d}$ обеспечивает существование всего ряда разностей степеней меньших$V_{x-d}$.
6. Согласно пунктам 4., 5. всегда найдется степень $(q-d)^p<a^p$ такая, что для нее существует разность степеней $V_{q-d}< V_{a-d}$. И их сумма $ V_{q-d}+ (q-d)^p = q^p< a^p$ со всеми свойствами $a^p$. А именно разность степеней $V_{q-d}$ снова можно представить в виде суммы вторых разностей степеней с количеством слагаемых больше составного числа. А это и есть условие существования редукции.

[uxamat]

vasili в сообщении #1108824 писал(а):

$(a+b)^2-3(a+b)c+3c^2-\frac{c^3}{a+b}$ (5а)
Уважаемый uxamat!
Повторяю
$c = c_1c_2$, тогда $c^3 = c_1^3c_2^3$, а по Абелю будет $a + b = c_1^3/3$, тогда
$\frac{c^3}{c_1^3/3} = \frac{c_1^3c_2^3}{c_1^3/3} =3c_2^3$ - целое число.

Уважаемый vasili,
на основании чего Вы решили, что произвольно задаваемые числа $a, b$ разной четности всегда удовлетворяют равенству:
$a + b = c_1^3/3$?
При этом я могу принять, например: $a=19, b=12$.
$a=19$ - простое число.
$a+b=19+12=31$ - простое число.
Приведенное здесь утверждение, что все числа $a, b, c$ всегда составные лишено смысла.

[lasta]

uxamat в сообщении #1108892 писал(а):

Приведенное здесь утверждение, что все числа $a, b, c$ всегда составные лишено смысла. .

Уважаемый uxamat! Если это не шутка, то Вы пытаетесь опровергнуть давно общепризнанный факт. Речь идет о числах решения для УФ

lasta в сообщении #1108825 писал(а):

определяемых по правилу $W_i=V_{i+1}-V_{i-d}$,

Для того, чтобы индекс $i$ начинался с нуля лучше заменить на ...определяемых по правилу $W_i=V_{i+d}-V_i$

[uxamat]

lasta в сообщении #1108894 писал(а):

Уважаемый uxamat! Если это не шутка, то Вы пытаетесь опровергнуть давно общепризнанный факт. Речь идет о числах решения для УФ

Уважаемый lasta,
Как можно говорить "о числах решения для УФ", если решения в числах не существует?
Или Вы считаете, что такое "решение в числах" (я имею ввиду в целых числах) существует?

[lasta]

7. Соседние кубы
В моем предпоследнем сообщении подробно изложены основные идеи редукции. Отработаем их на тройке соседних кубов, что будет равносильным предполагаемому доказательству ВТФ в целом, так как будут использованы только общие свойства всех степеней. Вместо сложных алгебраических преобразований упор делается на логические выводы при подробном анализе свойств простых формул.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
(a,b,c) - решение УФ $a\in \mathbb R, \quad b\in \mathbb N$ (для соседних кубов $c=b+1$)
$V_i$ - Разность соседних кубов. Нижний индекс $i$ - порядковый номер, численно равный основанию вычитаемого куба. Например: $V_b=(b+1)^3-b^3;\qquad V_{a-1}=a^3-(a-1)^3$ Кроме того, $i$ - количество вторых разностей соседних кубов, сумма которых без единицы равна $V_i$.
$W_i$ - Вторые разности соседних кубов $W_i=V_{i+1}-V_i=[(i+1)^3-i^3] - [i^3-(i-1)^3]= 6i\ $
$f ^3$ - Вспомогательный куб $f^3=(a-d) ^3, \quad d=c-b$ Для соседних $d=1$ , поэтому $f^3=(a-1)^3$
Исходное равенство

$$a^3=V_{b} \qquad \e(7.1)$$

С другой стороны, любой куб можно разбить в сумму разности соседних кубов и куба

$$a^3= V_{a-1}+(a-1)^3=V_{a-1}+f^3 \qquad \e(7.2)$$

В случае соседних кубов

$$f^3=3(a+b)((b+1)-a)(b+1-b)=3(a+b)(b+1-a)\qquad \e(7.3)$$

Следовательно равенство (7.2) примет вид

$$a^3=V_{a-1}+3(a+b)(b+1-a) \qquad \e (7.4)$$

Любая разность соседних кубов может быть выражена через вторые разности соседних кубов. То есть

$$V_{a-1} =1+\sum_{i=1}^{a-1}{W_i} =1+\sum_{i=1}^f{6i} \quad \text {где}\quad W_0=1\quad \text {вынесено из под знака суммы}\qquad \e(7.5)$$

И (7,4) примет вид

$$a^3=[1+\sum_{i=1}^f{6i}]+3(a+b)(b+1-a) \qquad \e (7.6)$$

Количество слагаемых в квадратных скобках правой части (7.6) больше составного числа $f$. Существует весь ряд разностей соседних кубов меньших $V_{a-1}$
Далее, $a^3=V_{b}$ – разность соседних кубов и, согласно (7.2), может быть кубом натурального числа $a=(1+f)$ при $b\in \mathbb N$ только в случае если $f\in \mathbb N$.
Но $f$ не может быть натуральным числом, так как в этом случае будет существовать весь ряд кубов меньших $f^3$, среди которых существуют и кубы составного числа. Действительно, не нарушая общности, пусть $3(a+b)=3^3c_1^3$. Тогда варьируя $c_1$ можем сказать, что существует $c_1-1$ составных кубов меньших $f^3$. Точно также, зафиксировав $c_1$ и варьируя $b_1$ - основанием куба $(b+1-a)$, получим еще $b_1-1$ составных кубов меньших $f^3$. Тогда существует и составной куб $f_1^3=3(s+q)(s+1-q),\qquad s<b$
Количество кубов меньших $ f^3$ равно количеству разностей соседних кубов меньших $V_{a-1}$. И каждому из кубов найдется разность соседних кубов, в сумме с которой образуется новый куб. Тогда для куба $f_1^3$ также существует разность соседних кубов $V_{q-1}$, в сумме с которой образуется новый куб $q^3$ со всеми свойствами $a^3$ и будет существовать равенство (7.9) аналогичное (7.6)

$$q^3=V_{q-1}+ f_1^3=V_{q-1}+(s+q)(s+1-q)=[1+\sum_{i=1}^{f_1}{6i}]+(s+q)(s+1-q) , \qquad \e(7.9)$$

обосновывающее существование равенства

$$q^3=(s+1) ^3-s^3\qquad \e(7.10)$$

со всеми свойствами равенства (7.1). А именно, - количество слагаемых $f_1$ -новое составное число. То есть появляется редукция (бесконечный спуск), в связи с образованием $q, s, (s+1)$ - новой тройки решения УФ с меньшими числами, что противоречит принципу единственности минимального решения.
Таким образом, можно считать. что предполагаемое доказательство верно для соседних кубов. Следует обратить внимание, что сумма прогрессия какой-то последовательности вторых разностей соседних кубов может равняться кубу, но в этом случае она не будет вида $3(a+b)(b+1-a)$ и для неё, в разности соседних кубов $V_{a-1}$ не существует необходимой $V_{q-1}$ -разности соседних кубов, в сумме с которой образовался бы новый куб. Например, $9^3-8^3=1+216; \qquad V_{a-1}=1^3-0^3=1$

[lasta]

Появление редукции будет понятнее, если правые части (7.3), (7.9) дополнить числом $E=a^3- V_b$ - отображающего условие верности теоремы. Кроме того, все числа в этом случае натуральные, без предположения о существовании натуральной тройки решения. Если теоремы верна, то $E\ne 0$. Если теорема не верна, $E=0$. С учетом этого, (7.3) , (7.9) примут вид

$$f^3=3(a+b)((b+1)-a)(b+1-b)+E=3(a+b)(b+1-a)+E \qquad \e(7.3)$$

$$q^3=V_{q-1}+ f_1^3=V_{q-1}+(s+q)(s+1-q)+E=[1+\sum_{i=1}^{f_1}{6i}]+(s+q)(s+1-q) +E, \qquad \e(7.9)$$

Если $E\ne 0$, то $f^3$ может быть как составным, так и не составным числом. Но для бесконечного спуска $f^3$ должно быть всегда составным числом. Бесконечный спуск невозможен – ВТФ верна. Если $E=0$, то $f^3$ всегда составное. В этом случае существует бесконечный спуск, следовательно этот случай не возможен.

[lasta]

lasta в сообщении #1109509 писал(а):

Если $E\ne 0$, то $f^3$ может быть как составным, так и не составным числом. Но для бесконечного спуска $f^3$ должно быть всегда составным числом. Бесконечный спуск невозможен – ВТФ верна. Если $E=0$, то $f^3$ всегда составное. В этом случае существует бесконечный спуск, следовательно этот случай не возможен.

Утверждение с ошибками. Правильно, -Если $E\ne 0$, то $3(a+b)(b+1-a)$ может быть как кубом натурального числа, так и иррационального числом. Но для бесконечного спуска $3(a+b)(b+1-a)$ должно быть всегда кубом натурального числа. Бесконечный спуск невозможен – ВТФ верна. Если $E=0$, то $3(a+b)(b+1-a)$ куб всегда натурального числа. В этом случае существует бесконечный спуск, следовательно этот случай не возможен.

[binki]

lasta в сообщении #1107067 писал(а):

Делилась на 2 всегда нечетная разность соседних кубов, поэтому произошел переход к дробным числам. Но это не разрушает редукцию. Так как в результате в (7) появился куб меньшего целого числа $c^3<a^3$ с теми же свойствами, что и у куба $a^3$. А именно, его соседний меньший куб целого числа $(c-1)^3$ является также составным числом, как и соседний меньший куб $(a-1)^3$ у $a^3$.

Уважаемый lasta! Это важная часть. Пожалуйста подробнее.

[lasta]

binki в сообщении #1110438 писал(а):

Это важная часть. Пожалуйста подробнее.

Уважаемый binki! Спасибо за вопрос. Более детальная проработка есть. В ней удалось избежать применение дробных чисел.
Для соседних кубов.

$$f^3=3(a+b)(b+1-a) +E,$$

где $E=a^3+b^3-c^3$. Пусть $E=0$, а на 3 делится $(a+b)$. Тогда $3(a+b) $ - куб. Обозначим его как $c_1^3$ и учтем, что $c_1\gg 9$. Тогда, используя разность кубов $V_{c_1-6}=[c_1^3-(c_1-6)^3]$, Получим

$$3(a+b)=c_1^3=[c_1^3-(c_1-6)^3]+(c_1-6)^3=V_{c_1-6}+(c_1-6)^3\qquad \e (7.11) $$

Разделим на 6 разность кубов.

$$(V_{c_1-6})/6=d_6\qquad \e(7.12)$$

Она делится без остатка, как всякая разность кубов, с основаниями, отличающимися на 6. Результат деления обозначим как $d_6$ Вычтем $d_6$ из каждого числа тройки $(a-d_6),\quad(b-d_6),\quad(b+1-d_6)$. Тогда, с учетом (7.12),

$$3(a+b-2d_6)=3(a+b)-6d_6=c_1^3-V_{c_1-6}=c_1^3-[c_1^3-(c_1-6)^3]=(c_1-6)^3$$

Куб $b_1^3=(c-a)=(c-d_6)-(a-d_6)$ после вычитания $d_6$ не изменился
Получился новый куб

$$f_1^3=(c_1-6)^3b_1^3$$

При этом$f_1^3<f^3$ и имеет все свойства предыдущего куба. Представлен составным числом. А разность кубов $V_{c_1-6}$ можно рассматривать как сумму 6 последовательных разностей соседних кубов. То есть $V_{c_1-6}=V_{c_1-1}+V_{c_1-2}+...+V_{c_1-6}$. Количество слагаемых этой суммы равно сумме нижних индексов плюс 6. Тоже больше составного числа. Это ключевой момент в редукции.

[binki]

lasta в сообщении #1110564 писал(а):

Более детальная проработка есть.

Уважаемый lasta, Ваши рассуждения для соседних кубов понятны, но формула степени $f^p$ с увеличением показателя значительно усложняется. Не понятно как доказательство для кубов фактически будет общим для всех степеней.

[lasta]

binki в сообщении #1110794 писал(а):

формула степени $f^p$ с увеличением показателя значительно усложняется. Не понятно как доказательство для кубов фактически будет общим для всех степеней.

Уважаемый binki!
Общий делитель $p(a+b)(c-a)(c-b)$ для всех степеней обозначим как $f_d^p$,
Получим -

$$f^p=f_d^pR+E \qquad \e(7.13)$$

- совсем простое выражение, где все числа натуральные. Если доказать, что для $f_d^p$ существует бесконечный спуск, то он существует для всей правой части (7.13). Заменим в доказательстве для кубов показатель на $p$, а число 6 на $2p$ получим аналогичное доказательство для всех степеней. При этом оно отвечает наиболее сложному случаю, когда $R$ не делится на $p$.
Здесь нет проблем. Но есть нюансы. Короче, перерыв этот стог сена, я не нашел иголки. Но зато нашел записку, следующего содержания. Чтобы доказать ВТФ – надо доказать ВТФ. Действительно, в доказательстве есть новый куб $f_n^3$, есть к нему разность кубов, в сумме с которой получается новый куб $a_n^3$. (n – от слова nova – новый, -эсперанто). И формула прогрессии, определяющая сумму интервала вторых разностей соседних кубов, совпадает с формулой, определяющей $f_n^3$, то здесь можно предполагать, что $E_n=0$, то есть существует новая тройка решения $(a_n,\quad b_n,\quad c_n)$. Для других показателей утверждение $E=0$ значит, что существуют $f_n^p,\quad a^p_n$, Но обратное утверждение, - если существует $f_n$, то $E_n=0$ требует доказательства. Если этого нет, то вместо бесконечного спуска имеем исчерпывающий спуск. Это когда $(c_{nk}-2p)$ на $k$ шаге станет нулем.
Дальнейший ход, - изменить сразу несколько делителей $f^p$

[vasili]

Уважаемый Lasta! После вычитания $d_0$ из чисел $a,b,c$ измениться $E=a^3 + b^3- c^3$, а значит $f^3$ не будет кубом.

[lasta]

vasili в сообщении #1110916 писал(а):

После вычитания $d_0$ из чисел $a,b,c$ измениться $E=a^3 + b^3- c^3$, а значит $f^3$ не будет кубом.

Спасибо vasili! Я к этому уже пришел, поэтому и написал, что надо изменять несколько делителей f^3. Все таки $f^3$ , согласно доказательству будет кубом, но это дает только конечный спуск. Оставляю вариант существования $f^3$ из- за одинаковых формул $f^3$ и суммы прогрессии вторых разностей соседних кубов.

[lasta]

Доказано, что для $f^3=[3(a+b)(c-a)(c-b)]+E$ при $E=0$ существует куб - меньший куба в квадратных скобках. но это будет $f_1^3$ только если новое значение $E_1=0$. То есть,чтобы доказать ВТФ, надо доказать ВТФ. Об этом выводе я уже писал. То же самое написал Уважаемый vasili!

[krestovski]

lasta в сообщении #1107067 писал(а):

Действительно, сумма прогрессии во вторых квадратных скобках (6)

$$(a-1)^3=3(a+b)(b+1-a)$$

Я тихо радуюсь, когда читаю тексты... - в одной теме Вы приводите это равенство с переменными $x$ и $y$ и ссылаетесь на эту тему, а тут переменные $a$ и $b$, да к тому же не определены их соотношения, - что больше чего.
Ну хорошо, по умолчанию алфавитное возрастание переменных определяет их соотношения, - те что раньше, меньше тех что позже.
Но у меня воникает вопрос в связи с утверждением о существовании меньшего куба... - метод бесконечного спуска.
Вы приняли средний и больший кубы как соседние. Вы выразили основание большего куба через основание среднего, - основание среднего плюс единицу. Вы оставили, в итоге, две пременных, - основание меньшего и среднего кубов. Вроде бы всё хорошо.
И вот тут возникает вопрос. Но прежде чем задать его, он требует предварительного пояснения.
Можно конечно аналитически исследовать зависимость переменных при применении метода бесконечного спуска. Но комбинаторно, - для любого показателя степени, который соответствует числовому коэффициенту перед множителями, - существует такое единственное значение $x$ ( в этой теме у вас это переменная $a$), что приведённое равенство вызывает сомнение о целесообразности применения его при рассмотрении метода бесконечного спуска. - При наступлении условия, когда $x$ равно числовому коэффициенту, $x^3$ принимает значение большее чем $y^3$, но ведь так происходит и при остальных показателях степени , $x^4$ принимает значение больше чем $y^4$ при определённом значении $x$... и так далее. Это не соответствует начальным условиям, которыми оговорено, что $x<y<z$.
Так каким образом Вы объясните правомерность применения данного равенства для своего исследования, если оно не обеспечивает выполнения начальных условий?
И, чтобы не быть голословным:

$(x-1)^3=3(x+y)(y+1-x)$ - это Ваше равенство, где

$x^3-3x^2+3x-1= 3y^2-3x^2+3x+3y$

$3y(y+1) = x^3-1$

$3y(y+1)+1 = x^3$

$(3y(y+1)+1) + y^3 - (y+1)^3 = 0$, где $x^3 = (3y(y+1)+1)$

и где при $y=3$, $x^3$>$y^3$.

Объясняйте, - что и где я не правильно понимаю.