Expression's value - easy

[ins-]

Let $a$, $b$, $c$, $d$ are real numbers, such that

$a+b=ab$

$c-d=cd$

$a-b=c+d$

Find the value of $ad-bc$

[scwec]

А в чем прикол?
Либо $ad-bc=0$, либо $ad-bc=\dfrac{d^2(d^2-2d+2)}{(d-1)^2}$, где $d$ считается параметром.

[ins-]

Probably the limitation $ac+bd \ne 0$ should be added here to have a fixed value. I saw a problem in analytical geometry and it led to this one.

[scwec]

Тогда, конечно, $ad-bc=0$

[ins-]

I hope you like the problem. For an experienced mathematician it is probably very easy, but similar problems are not easy for composing and I like them. It is the reason to post it here. The problem can be solved in at least two ways and can be generalized.

[mihiv]

ins- в сообщении #1108689 писал(а):

Probably the limitation $ac+bd \ne 0$ should be added here to have a fixed value.

На самом деле это условие излишнее.

Сложим три равенства:

$(a+b)^2=a^2b^2$

$c^2d^2=(c-d)^2$

$(c+d)^2=(a-b)^2$

Или после преобразований:

$(cd+2)^2-(ab-2)^2=0$ и далее $(cd+ab)(cd-ab+4)=0.$

В случае $cd+ab=0$ из исходной системы легко получим $a=b=c=d=0$ и, следовательно, $ad-bc=0$.

Если же $ab-cd=4$, то вычитая из первого уравнения исходной системы второе и учитывая третье уравнение исходной системы, получим:$a+b-c+d=4, a-b-c-d=0$. Отсюда $a-c=2, b+d=2$. Умножим первое из этих двух равенств на $b$, второе- на $a$ и сложим, получим:

$$2ab+ad-bc=2(a+b).$$

Так как $a+b=ab$, то $ad-bc=0$.

[Xaositect]

mihiv в сообщении #1109029 писал(а):

В случае $cd+ab=0$ из исходной системы легко получим $a=b=c=d=0$ и, следовательно, $ad-bc=0$.

Не получаем, например, $a = b = -c = d = 2$.

[ins-]

mihiv
The condition $ac+bd \ne 0$ is required. Without it - the expression $ad-bc$ can take infinitely many values. I composed a little harder problem and posting it in another topic.

[mihiv]

Да,действительно, в этом случае можно получить только, что $a=d, b=-c$ и, следовательно, $ad-bc=a^2+b^2.$ А это равно 0 лишь при $a=b=0$.

В очередной раз подтвердилась истина, что труднее всего доказать то, что кажется очевидным.

[ins-]

My idea with this problem was to create something interesting that can be proposed for municipality round - 8-th grade for Bulgarian math olympiad. When I was at that age on this round I faced $a^2+b^2=1$, $c^2+d^2=1$, $ac+bd=0$, $ad-bc=?$. That is not hard but nice problem (direct application of Lagrange's identity), trigonometric substitution or looking at some cases, expressing the variables by each other. I saw also similar problems proposed on Russian MO, and Hungarian and Bulgarian competitions. They are good sources of inspiration.