Дифференциально-разностное уравнение

[RabbitXO]

Имеется следующее уравнение:

$$ a_3 f''(t)+a_2 f'(t)+a_1 f(t)+ a_0 f(t-\lambda)=0,\ a_i\in\mathbb{R},\lambda>0. $$

Применим преобразование Лапласа $\mathcal{L}[g](p):=\int\limits_0^\infty g(t)e^{-pt}dt$ к левой и правой части. Получим

$$ \mathcal{L}[f](p)=\frac{C_1 p + C_2}{C_3 p^2+ C_4 p + C_5 + C_6 e^{-p\lambda}},\ C_i\in\mathbb{R}. $$

$f$ можно выразить через контурный интеграл.

$$ f(t)=\frac1{2\pi i}\int\limits_{b-i\infty}^{b+i\infty} e^{pt} \mathcal{L}[f](p). $$

Интеграл берется по линии $\Re p = b$, где $b>\alpha_0$. $\alpha_0$ показатель сходимости $f$, т.е.

$$ \alpha_0:=\inf\{\alpha>0: \exists C>0, |f(t)|\leqslant Ce^{\alpha t}\ \forall t\in[0,+\infty)\}. $$

Можно ли найти явный вид $f$(через ряд или ещё как)? Вычеты тут не посчитать. Когда-то попадалась статья, где находилось решение уравнений даже такого вида(если не ошибаюсь):

$$ \sum\limits_{k=0}^{n}a_k f^{(k)}(t-\lambda_k)=0,\ a_k\in\mathbb{R},\ \lambda_k>0. $$

Конечно, не совсем сходится с уравнением выше.

Спасибо.

[Евгений Машеров]

Возможно, тут может оказаться полезна книга:
Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом, М.: Наука, 1965. - 356с.

[RabbitXO]

Полистал Эльсгольца и Беллмана и понял, что погорячился с преобразованием Лапласа. Все намного сложней. Если я ищу функцию на $(0,T)$, то надо задать функцию на $[-\lambda, 0]$. А информации этой нет(если исходить из задачи, которая привела к данному уравнению). Ещё надо, что бы решение было найдено на $(0,+\infty)$ и в добавок дифференцируемо на $(0,+\infty)$. Теперь, надо не листать Беллмана и Эльсгольца, а вчитываться.


Евгений Машеров, спасибо. Но, книгу найти не получилось.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Я, конечно, не настоящий сварщик...

Но как ожидалось решить уравнение без знания значений функции на отрезке длиной $\lambda$? Там же они явно входят.
А если известно, то вполне может подойти метод шагов.
Просто берётся $[-\lambda, 0]$, принимается $g(t)=-a_0 f(t-\lambda)$ и решается
$a_3 f''(t)+a_2 f'(t)+a_1 f(t)=g(t)$
шагами длиной лямбда.

[RabbitXO]

Евгений Машеров в сообщении #1109026 писал(а):

Но как ожидалось решить уравнение без знания значений функции на отрезке длиной $\lambda$? Там же они явно входят.

Не обратил внимание. Уравнение получилось из интеграло-дифференциального для одной функции...

Спасибо. Значит, допустил где-то ошибку или же не всю информацию из определения функции использовал. Буду разбираться.