Метод квадратичного разложения степеней целых чисел

[PhisicBGA]

Прежде чем сформулировать этот метод, я хотел бы выразить огромную благодарность Уважаемому krestovski ,который своим стремлением к универсальности и порядку - черте характерной для настоящих математиков - помог мне обобщить картину структуризации целых степеней натуральных чисел и перевести её на математический язык.
То ,что я на физический лад,называю внутренней структурой степеней, в математике называется их разложением.Известный Бином Ньютона - один из примеров такого разложения.Метод ,который я хочу представить,так же даёт разложение по моно параметрам,однако, он открывает путь к разложению степеней по сложным функциональным структурам,таким как треугольные числа и фигурные числа более высокого порядка. Аналогом этому являются уже ряды Фурье,по которым можно разложить любую функцию в математике.Хочу ещё раз напомнить,что в оригинальной формулировке ВТФ самого Ферма речь идёт как раз о разложении степеней.
Так вот,в пространстве целых степеней натуральных чисел существует метод,позволяющий раскладывать любую степень по любому целому числу,используя свойство разности квадратов.Этот метод формулируется так:
"Любая целая степень $n$ натурального числа $x$ может быть разложена по любому целому числу $a$ следующим образом:

$$x^n = (x-a)x^{n-2} (x+a) + a^2x^{n-2}$$

."
Действительно,представим степень $x^n$ таким образом:

$$x^n = x^{n-2}x^2 = x^{n-2}(x^2 - a^2 +a^2) = x^{n-2}(x^2-a^2) +a^2x^{n-2}$$

Воспользуемся формулой сокращённого умножения $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$ и получим:

$$x^n = (x-a)x^{n-2} (x+a) + a^2x^{n-2}$$

.Что и требовалось доказать.
Несмотря на свою,казалось бы,элементарность этот метод даёт большие возможности для анализа как структуры степеней,так и их свойств,включая ВТФ.
Применим этот метод к квадрату целого числа $x$.Тогда разложение $x^2$ по любому целому числу $a$ будет:

$$x^2 = (x-a)(x+a) + a^2$$

Мы видим,что при любых значениях $a$ в разложении всегда будет один квадрат гарантированно.Получить второй квадрат нам ничто не запрещает.Например:
Разложим $x^ =5^2$ по числу $a=3$ и получим:

$$5^2 = (5-3)(5+3)+ 3^2 = 4^2 + 3^2$$

Разложим $x^ =13^2$ по числу $a=12$ и получим:

$$13^2 = (13-12)(13+12)+ 12^2 = 5^2 + 12^2$$

Разложим $x^ =17^2$ по числу $a=8$ и получим:

$$17^2 = (17-8)(17+8)+ 8^2 = 15^2 + 8^2$$

Применим теперь этот метод к кубу целого числа $x$.Тогда разложение $x^3$ по любому целому числу $a$ будет:

$$x^3 = (x-a)x(x+a) + a^2x$$

Мы видим,что второй член разложения может быть кубом только в случае
$a =x$. Но тогда исчезает первый член.Аналогично для всех нечётных степеней.Следовательно, согласно этому методу разложения,разложить любую нечётную степень целого числа на два целых числа той же степени не возможно.

Применим теперь этот метод к биквадрату целого числа $x$.Тогда разложение $x^4$ по любому целому числу $a$ будет:

$$x^4= (x-a)x^2(x+a) + a^2x^2$$

Казалось бы тоже самое-второй член может быть биквадратом только когда $a =x$.Однако,это не так.
Проведём это разложение по другому,что для чётных степеней возможно.

$$x^4= x^4 - a^2 + a^2 = (x^2- a)(x^2 +a) + a^2$$

Мы видим,что второй член разложения может быть биквадратом, когда $a $ является квадратом т.е.
$a =b^2$.Тогда получаем:

$$x^4 = (x^2- b^2)(x^2 +b^2) + b^4 = (x-b)(x+b)(x^2 +b^2) +b^4$$

Да и первому члену,вроде бы, ничто не запрещает быть биквадратом. Может быть именно по этому Ферма и придумал свой метод бесконечного спуска,что бы доказать именно этот случай,когда чётная степень кратна 4.
Для чётных степеней кратным 2 мы получаем следующее:
рассмотрим разложение шестой степени целого числа $x$.Тогда разложение $x^6$ по любому целому числу $a$ будет:

$$x^6= (x^3-a)(x^3+a) + a^2$$

Мы видим,что второй член разложения может быть шестой степенью только в случае $a =b^3$,что вполне возможно.Подставим и получим:

$$x^6= (x^3-b^3)(x^3+b^3) + b^6$$

Однако,в первом члене разложения сума кубов не может быть кубом целого числа,как мы уже видели ранее в разложении куба целого числа.Следовательно,первый член не может быть шестой степенью целого числа.Аналогично для всех чётных степеней кратных 2.
Не знаю,насколько эти рассуждения строги для доказательства ВТФ,но очень похоже ,что они проливают свет на тайну создания самой теоремы великим Пьером Ферма.Возможно ,что ему хватило этих аргументов для формулировки своей
Великой теоремы.

[bot]

(Оффтоп)

Смотри, Шура, что можно соорудить из простейшей швейной машинки формулы сокращённого умножения!

Всё банально даже на уровне начальной школы, а нет ли что-нибудь более содержательного? Только не надо говорить, что банальности могут вести к эпохальному открытию - покажите хоть что-нибудь, достойное внимания.

[PhisicBGA]

bot писал(а):

Всё банально даже на уровне начальной школы, а нет ли что-нибудь более содержательного?

Уважаемый bot !Вы ошиблись адресом.Вам необходимо обратиться к японцу Танияма, англичанину Уайлсу, Фрею, Рибет и иже с ними.Смею напомнить,что во времена Ферма знания на уровне современной начальной школы только ещё создавались и обсуждались на уровне самых лучших умов математики...,а о швейных машинках тогда вообще ничего даже ни слышали.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: фактическое содержание темы не соответствует тематике раздела.

[arseniiv]

PhisicBGA в сообщении #1108991 писал(а):

Смею напомнить,что во времена Ферма знания на уровне современной начальной школы только ещё создавались и обсуждались на уровне самых лучших умов математики...

Безыскусная выдумка.