Как мне кажется, в этом случае (когда речь идёт об одинаковых книгах) должна использоваться приведённая здесь
формула для нахождения числа сочетаний с повторениями (в нашем случае 3 элемента, взятых по 12, где элементы в наборе могут повторяться):
Есть наглядно-визуальный метод вывести "по-понятному" эту загадочную формулу в общем случае - для любого количества разбиений при любого количества неотличимых элементов (в нашем случае, разбиение 12 неотличимых элементов в трех отличимых "куч" - соответно куча красных, желтых и коричневых).
Заметим что
конкретное разбиение 12 неотличимых книг на 3-х цветов: 2 красные книги, 4 желтые и 6 коричневые, можно записать как:
Код:
oo|oooo|oooooo
считая что слева направо - группы красных, желтых и коричневых книг соответно.
Знак "o" символизирует элементов соответного цвета ("книг"), знаки "|" - разделители, разделяют группы элементов одинакового цвета.
Так можно записать любое разбиение; для 12 элементов и 3 цветов - нам нужны 12 кружочков "o" и 3-1=2 разделителей "|"
Например, строка:
Код:
oooooooo||oooo
кодирует 8 красных 0 желтых 4 коричневых книг, а строка
Код:
|oooooooooooo|
кодирует 0 красных, 12 желтых и 0 коричневых книг.
Очевидно каждая такая строка (кодирующая какое-то разбиение 12 неотличимых книг в 3-х куч разных цветов), имеет 14 символов (12 + 3 -1).
Теперь, задача сводится к нахождению различимых последовательностей из 14 символов - в которых входят ровно 12 символа "o", и ровно 2 символа "|".
Допустим - для определенности - что мы сначала размещаем двух разделителей на соответных позиций, а потом кружочков (на самом деле, последовательность размещения не имеет значения).
Таких строк тогда итого:
- тут первая дробь обозначает вариантов расположения разделителей "|" (для первого разделителя имеем 14 возможных позиций из 14; для второго остаются 13 позиций из 14 - это нужно поделить на 2! так как порядок несуществен - символы двух разделителей неотличимы);
- а вторая дробь соответно оставшихся вариантов для расположения кружочков после того как разделители расставлены (для первого кружочка остаются 12 возможных позиций; для второго остаются 11 позиций и т.д. - все комбинации нужно поделить на 12! так как порядок несуществен - символы кружочков неотличимы).
Кстати сразу ясно что после того как мы расставили разделителей - места для кружочков всегда однозначно определены (из-за этого и вторая дробь вообще всегда равна единице -. так что ее можно и вообще не писать)
Отсюда и "понятна" формула для общего случая сочетаний с повторениями
-- 25.03.2016, 04:14 --Пусть у нас есть
книг, которые можно переплести в переплёты
разных цветов. При этом
книг неразличимы между собой, а
различимы. Тогда, как я подозреваю, количество возможных вариантов будет определяться формулой
Ну, я так вижу внутренним взором. :)
И даже факториалы привлекать не потребовалось
Ваша формула верна только при
и неверна при
.
Для
(одна книга, пять цветов), ваша формула дает
варианта.
А вариантов очевидно не 2, а 5.
В правильной обобщенной формуле для
цветов, без факториалов не обойтись...
-- 25.03.2016, 04:39 --По-прежнему не могу понять неправильности ответа
. Берём первую книгу. Есть три варианта её переплёта. Переплетаем. Откладываем. Берём вторую. Есть три варианта её переплёта. Переплетаем. Откладываем... Дюжина книг, три цвета. Книги неразличимы. Ответ:
.
Ваше число можно назвать "количество
возможных выборов цвета, в процессе переплетения (берем - выбираем - откладываем, и т.д)".
Например если нужно переплесть двух неотличимых книг в два цвета (синий и красный), у вас будет
возможных выборов цвета, в процессе переплетения.
А различимых вариантов
итогового переплетения, всего три - обе книги красные, обе книги синие, и одна красная и одна синяя.