Случай интервала, dim=1Неравенство Пуанкаре для функции
где
выглядит так
Для доказательства используем формулу Ньютона-Лейбница
Возводим это тождество в квадрат и интегрируем по интервалу
Используя неравенство Коши, получаем
что и требовалось доказать.
Случай нулевой границы, dim=2В этом случае
Неравенство Пуанкаре принимает вид
Рассмотрим квадрат
,
так как любую подобласть
можно заключить в
,
тривиально продолжив
Тогда
По формуле Ньютона-Лейбница
Возведём обе части в квадрат и применим неравенство Коши
Проинтегрировав это неравенство по всему квадрату, получим
Совершенно аналогично получаем такое же неравенство для частной производной по
Складывая оба неравенства и отбрасывая фактор 2, получаем желаемое
что и требовалось доказать.
Случай ненулевой границы, dim=2Рассмотрим случай, когда не весь квадрат имеет ненулевую границу, а только один её отрезок. Пусть для определённости это будет
Для всех
из отрезка
пусть
Применим формулу Ньютона- Лейбница при условии
Возведём обе части в квадрат
С помощью неравенства Коши и увеличив область интегрирования, получим
Позволим теперь точке
быть любой и
проинтегрируем неравенство по всей области
:
что и требовалось доказать.
Вопрос 1:Правомочен ли переход от
к
в последней строчке доказательства?
Вопрос 2: Почему неравенство Пуанкаре неверно в случае, если функция
обращается в ноль на границе только в одной точке?