Трудный интеграл

[SeledkaShuba11]

Приветствую! Возникли трудности со взятием интеграла

$$\int \frac{x^7}{(x^{10} + x^6 + x^2 +1)} dx$$

Вольфрам выдает как-то страшный ответ. У самого у меня идей тоже нет, но может быть методом Остроградского?

[Brukvalub]

Для начала, напишите здесь разложение знаменателя на линейные и квадратичные множители.

[SeledkaShuba11]

Brukvalub, ничего не получается. Сделал замену t=x^2, знаменатель все равно не разложить красиво. Единственное, что я получил: $1+t (1+t^2 (1+t^2))$

[Sender]

Хм, вольфрамальфа говорит, что этот многочлен неприводим над $\mathbb{Q}$.

[Brukvalub]

SeledkaShuba11 в сообщении #1108426 писал(а):

Brukvalub, ничего не получается.

Пока нет разложения на требуемые множители, интеграл взять не удастся. Выходит, проблема кроется в алгебре, а не в интегрировании.

[mihailm]

SeledkaShuba11 в сообщении #1108423 писал(а):

...может быть методом Остроградского?

Все можно. Найдите НОД знаменателя и его производной.

[SeledkaShuba11]

mihailm, как тут найти НОД, если старшая степень в знаменателе?

Я все-таки думаю, что здесь опечатка. Вместо x^6 должно быть x^8. Так хотя бы чуть-чуть яснее. Тогда Остроградский не нужен, и мы имеем дело с чистой алгеброй. Здесь после замены получается многочлен 5-й степени с вещественный и 4 комплексными корнями. Методу Остроградского тут как бы нечего делать.

Иезуитский интеграл ...

-- 22.03.2016, 13:22 --

После корректировки x^6 на x^8 получил такое разложение в знаменателе: $(x+1)(x^2 + 1 - x\sqrt 2)(x^2 + 1 + x\sqrt2)$. What now?

[Brukvalub]

SeledkaShuba11 в сообщении #1108436 писал(а):

После корректировки x^6 на x^8 получил такое разложение в знаменателе: $(x+1)(x^2 + 1 - x\sqrt 2)(x^2 + 1 + x\sqrt2)$

Как после разложения на множители могла понизиться степень знаменателя?

[bot]

Раскладывается, но при другой корректировке 10-ю заменяем на 8--ю.
$t^4+t^3+t+1=(t+1)^2(t^2-t+1)$.
Может и в самом деле здесь опечатка?