Физическая размерность векторной величины

[Qazed]

Здравствуйте, размерность модуля вектора скорости — длина на время, чему равна размерность вектора скорости?

$$ \dim v = \mathrm{L T^{-1} } $$

$$ \dim \mathbf v = \mathrm{ \mathbf L T^{-1} } \qquad (?)$$

[Mihr]

Qazed, насколько я понимаю, под размерностью векторной величины всегда понимается размерность её модуля. Так что Ваш вопрос мне представляется лишённым смысла.

Вообще, о размерности вектора говорят, но тогда имеют в виду число его координат (2, 3, 4...). Это совсем другое.

[Qazed]

Что ж, спасибо. В таком случае $\dim \mathbf v = \mathrm{L T^{-1}}$, по-вашему вопрос, а следовательно, и предложенное вами равенство лишены смысла? Я дважды косвенно указал какую размерность подразумеваю: физическую размерность, которая для модуля вектора скорости определяется равенством $\dim v = \mathrm{L T^{-1} } $.

[Mihr]

Qazed в сообщении #1108112 писал(а):

по-вашему вопрос, а следовательно, и предложенное вами равенство лишены смысла?

Какое равенство? Я никакого равенства не предлагал.
Лишено смысла, с моей точки зрения, противопоставление: "размерность модуля скорости - размерность вектора скорости". Обычно говорят просто "размерность скорости" (подразумевая при этом размерность модуля скорости). То же относится и к другим векторным величинам.

[Qazed]

То равенство, которое вы не предлагали: «... под размерностью векторной величины всегда понимается размерность её модуля» $\iff \dim \mathbf v = \dim v \underset{*}{=} \mathrm{L T^{-1} }$
$*$ — было заявлено в первом сообщении

Ну как же оно может быть лишено смысла, если мы с вами имеем: $\dim \mathbf v = \dim v$? Я не говорил ни о каком противопоставлении (что, как я полагаю, подразумевает неэквивалентность).

[Mihr]

Qazed, кажется, начинается пустой спор о словах.

Qazed в сообщении #1108105 писал(а):

Здравствуйте, размерность модуля вектора скорости — длина на время, чему равна размерность вектора скорости?

Вот этот Ваш вопрос как раз и подразумевает противопоставление. Так как он означает, что, в Вашем понимании, есть разные размерности: размерность "самого" вектора и размерность его модуля.
А я говорю, что такое понятие, как размерность "самого" вектора считаю бессмысленным. Поэтому "равенства" $\dim \mathbf v = \dim v$ я не предлагал, ибо знак равенства можно поставить лишь между выражениями, имеющими смысл. Впрочем, можно, конечно, писать подобные равенства, но нужно помнить об ограниченности их смысла. Помнить, что это лишь условная запись некой тавтологии.

[arseniiv]

Да, «векторной размерности» $\mathbf L$ не вводят, хотя, в принципе, размерность величины могла бы сочетаться с её тензорным рангом. Большая куча величин является тензорами, но не все.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[svv]

Могу представить ситуацию, когда разные компоненты вектора имеют разную размерность.

Например, возьмём сферические координаты
$x^1=r,\;x^2=\theta,\;x^3=\varphi$
Сами эти величины вектора не образуют, но их производные по времени $\frac{dx^i}{dt}$ — это уже контравариантные компоненты вектора скорости. И у них разная размерность.

В качестве координат $x^i$ точки в атмосфере Земли можно взять хоть температуру, концентрацию озона и модуль магнитной индукции. По крайней мере, в некоторой области. И компоненты $\frac{dx^i}{dt}$ будут иметь соответствующие размерности.

Трудно назвать такой вектор скоростью в физическом смысле? Хорошо, не будем. Главное, что с точки зрения тензорного анализа это вектор.

Возражения принимаются.

[Mihr]

svv в сообщении #1108173 писал(а):

Например, возьмём сферические координаты
$x^1=r,\;x^2=\theta,\;x^3=\varphi$
Сами эти величины вектора не образуют, но их производные по времени $\frac{dx^i}{dt}$ — это уже контравариантные компоненты вектора скорости.

Какой скорости? Обычной, той, что в механике? Или какой-нибудь искусственной конструкции?
Если речь об обычной скорости, то её компоненты в сферических координатах: $\frac {dr}{dt}, r\frac {d\theta}{dt}, r\frac {d\varphi}{dt}$. И у них одинаковая размерность.

svv в сообщении #1108173 писал(а):

В качестве координат $x^i$ точки в атмосфере Земли можно взять хоть температуру, концентрацию озона и модуль магнитной индукции.

Можно, конечно. Но это будет "вектор" в более широком смысле слова (говоря неформально, "вектор" как набор данных), а не векторная физическая величина в обычном смысле слова. Кстати, можно указать на подобную конструкцию, любимую теоретиками: 4-вектор энергии-импульса. Его компоненты имеют различную размерность.

svv в сообщении #1108173 писал(а):

Возражения принимаются.

За это спасибо!

[arseniiv]

Mihr в сообщении #1108184 писал(а):

Кстати, можно указать на подобную конструкцию, любимую теоретиками: 4-вектор энергии-импульса. Его компоненты имеют различную размерность.

Не обязательно. Можно брать его в виде $(E/c,\mathbf p)$ или $(E,\mathbf pc)$, а ещё можно выкинуть $c$, приняв её равной единице и совместив размерности длины и времени (уместно теперь будет её звать размерностью интервала), и $(E,\mathbf p)$ будет однородным по размерностям.

У меня то же возражение к словам svv, что и у вас: стоит ввести другой базис, и станет непонятно, какие размерности должны быть у компонент.

Вот ещё обсуждения размерностей:
«Ещё о размерностях физических величин»
(И искал тему, в которой упоминался пост https://terrytao.wordpress.com/2012/12/29/a-mathematical-formalisation-of-dimensional-analysis и не нашёл.)

[Mihr]

arseniiv в сообщении #1108230 писал(а):

Не обязательно.

Согласен. Но без множителя/делителя $c$, уравнивающего размерность, его тоже порой используют.

[arseniiv]

Наверно, это можно считать просто сокращением точной записи.

Вот ещё полезная цитата:

g______d в сообщении #896597 писал(а):

По-моему, размерности имеет только то, что по смыслу является элементом векторного пространства или сечением векторного расслоения (возможно, одномерного). Это уже здесь на форуме было, и Тао тоже писал у себя.

(ссылка на то же, фокус на первом предложении).

[svv]

Mihr, arseniiv
А если я назову набор величин $x^i$ обобщёнными координатами, как в теоретической механике, а $\dot x^i$ обобщёнными скоростями, от этого статус рассуждения не повысится?

(Я на выводах особо не настаиваю )

[arseniiv]

Насколько знаю (а знаю плохо), обобщённые координаты в общем случае безразмерны?