System of equations

[ins-]

Solve the following system of equations in real numbers:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}$

(Оффтоп)

I'm not the creator of this problem but it might be interesting

[DeBill]

Пусть $S$ - сумма неизвестных. Тогда наши уравнения сводятся к линейной системе относительно $xy,xz, yz$. Решив ее, выразим произведения (а потом и сами переменные) через $S$. Сложив, получим уравнение для $S$...
$\frac{23}{2},\frac{23}{6},\frac{23}{10}$

[ins-]

It is not hard. I posted it because of the following:
http://masteringolympiadmathematics.blo ... .html#more
http://masteringolympiadmathematics.blo ... ystem.html
Reading these materials looks complicated.

I'm wondering about the following:

Solve the system in reals
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{y}-\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}$

If we square the equations - it is possible to eliminate $x^2+y^2+z^2$, but then it is not obvious. The other idea i have is to substitute $y=ax$, $z=bx$.

[mihiv]

Можно действовать делать подобно тому, как предложил DeBill, то есть ввести $S=x+y+z$. Система запишется в виде:

$\frac 1x-\frac 1{S-x}=\frac 12$

$\frac 1y-\frac 1{S-y}=\frac 13$

$\frac 1z-\frac 1{S-z}=\frac 14$

Будем искать положительные решения системы. В этом случае $S>0$.
Решая уравнения относительно $x,y,z$, получим $x=\dfrac {S+4-\sqrt {S^2+16}}2, y=\dfrac {S+6-\sqrt {S^2+36}}2, z=\dfrac {S+8-\sqrt {S^2+64}}2$.
Знак - перед корнем поскольку $x, y, z<S$.
Сложим эти равенства и получим уравнение $S+18=\sqrt {S^2+16} +\sqrt {S^2+36}+\sqrt {S^2+64}$.
Это уравнение имеет два действительных корня: $S=0$- не годится, так как ищем положительные решения, и $S\approx 4.25\dots $. Зная $S$, находим $x, y, z.$
Таким образом система имеет единственное решение в положительных числах.

Понятно, что нет решений, в которых одно неизвестное отрицательно и два положительны.

Если предположить, что все неизвестные отрицательны, то можно перейти к системе уравнений относительно модулей неизвестных. В этом случае решений, если не ошибаюсь, тоже нет.

Случай, когда два неизвестных отрицательны, а одно положительно, не рассматривал.

[DeBill]

Ну, вообще-то я имел в виду
$2S= xy+xz$

$3S= yz+yx$

$4S= zx+zy$

Отсюда
$xy+xz+yz = \frac{9}{2}S$, так что $yz=\frac{5}{2}S, xz =\frac{3}{2}S, xy=\frac{1}{2}S$. Тогда $xyz= \sqrt{\frac{15}{8}S^3}$, так что $x=\frac{2}{5}\sqrt{\frac{15S}{8}},y=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{15S}{8}}, z=2\sqrt{\frac{15S}{8}}$. Тогда $S=x+y+z = \sqrt{\frac{15S}{8}}\cdot (\frac{2}{5}+\frac{2}{3}+2)=\frac{46}{15}\sqrt{\frac{15S}{8}}$ и $\sqrt{S}=\frac{46}{15} \sqrt{\frac{15}{8}}$,
Подставляя, найдем все...

[ins-]

This system is very hard and looked nearly to impossible to be solved. The equation mihiv reached is very nice. It is in the form:
$x+a+b+c=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{x^2+b^2}+\sqrt{x^2+c^2}$ and it probably can be solved, too. (if not in an usual way - by composing a system, similar to that DeBill solved)

[ins-]

I was wrong. The reason - I haven't seen

DeBill solved:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{z}+\frac{1}{y+x}=\frac{1}{4}$

mihiv solved in positive numbers:
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{y}-\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{z}-\frac{1}{y+x}=\frac{1}{4}$

It seems:
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{y}-\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{z}-\frac{1}{y+x}=\frac{1}{4}$
has no solutions in real numbers, but:
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{y}-\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{z}-\frac{1}{y+x}=\frac{1}{2}$ or $\frac{1}{3}$
has.

[mihiv]

Есть еще три решения, в которых одно неизвестное положительно и два отрицательны. Рассмотрим, например, решение, в котором $x>0$, а $y,z<0$. В этом случае должно быть $S<0$(иначе не удовлетворяются уравнения системы), а выражения для неизвестных имеют вид:

$$x=\frac 12(S+4+\sqrt {S^2+16}), y=\frac 12(S+6-\sqrt {S^2+36}), z=\frac 12(S+8-\sqrt {S^2+64}),$$

Перед квадратным корнем в выражении для $x$ знак +, т.к. $x>0$.Модуль $S$ определяется из уравнения:

$$|S|+\sqrt {S^2+36}+\sqrt {S^2+64}=18+\sqrt {S^2+16}\qquad (1)$$

Уравнение (1) имеет единственное решение $|S|\approx 6.4858$ и, следовательно: $S\approx -6.4858$ Этому $S$ соответствуют значения неизвестных $x\approx 2.5671, y\approx -4.7101, z\approx -4.4418$. Аналогично находятся решения с положительным $y$ или $z$.


Покажем, что не существует решений, с $x,y,z<0$. Обозначим $|x|=a, |y|=b, |z|=c.$ Тогда система уравнений будет:

$\frac 1{b+c}-\frac 1a=\frac 12$

$\frac 1{c+a}-\frac 1b=\frac 13$

$\frac 1{a+b}-\frac 1c=\frac 14$

Левые части равенств >0, поэтому должно быть $a>b+c, b>c+a, c>a+b.$ Сложив эти три неравенства, получим: $a+b+c<0$- противоречие.

[ins-]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fx-1%2F(y%2Bz)%3D1%2F2,+1%2Fy-1%2F(z%2Bx)%3D1%2F3,+1%2Fz-1%2F(x%2By)%3D1%2F4 for this system the software shows interesting things. It is not always correct, but for some systems works surprisingly good.