Квадратный корень из логарифма (страдание, безысходность)

[Denis Russkih]

Захотел тут порешать задачки по математике, просто для удовольствия, чтобы мозги не ржавели... И понял, что уже поздно — заржавели. :)

Не врублюсь, как следует решать вот эту задачу. Нужно вычислить:

$\sqrt{\log^2_2{3} + 1 - \log_2{9}} - \log_2{\Big(12\sqrt{2}\Big)}$

Известен ответ, который должен получиться:

$-\dfrac{7}{2}$

И это действительно так — я проверял на калькуляторе. Но вот как прийти к этому ответу — не имею ни малейшего представления.

Кое-что я, конечно, попытался сделать, в меру своих убогих умственных способностей:

\noindent $\sqrt{\log^2_2{3} + 1 - \log_2{9}} - \log_2{\Big(12\sqrt{2}\Big)} = \\\\ = \sqrt{\log_2{3} \cdot \log_2{3} + \log_2{2} - \log_2{9}} - (\log_2{12} + \log_2{\sqrt{2}}) = \\\\ = \sqrt{\log_2{3^{\log_2{3}}} + \log_2{\dfrac{2}{9}}} - \log_2{12} - \dfrac{1}{2} = \\\\ = \sqrt{\log_2{\Big(\dfrac{2 \cdot 3^{\log_2{3}}}{9}}\Big)} - (\log_2{3} + \log_2{4}) - \dfrac{1}{2} = \\\\ = \sqrt{\log_2{\Big(\dfrac{2 \cdot 3^{\log_2{3}}}{3^2}}\Big)} - \log_2{3} - 2 - \dfrac{1}{2} = \\\\ = \sqrt{\log_2{\Big(2 \cdot 3^{\log_2{3} - 2}}\Big)} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ = \sqrt{\log_2{\Big(3^{\log_3{2}} \cdot 3^{\log_2{3} - 2}}\Big)} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ = \sqrt{\log_2{\Big(3^{\log_3{2} + \log_2{3} - 2}}\Big)} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ = \sqrt{\log_2{\Big(\Big(2^{\log_2{3}}\Big)^{\log_3{2} + \log_2{3} - 2}}\Big)} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ = \sqrt{\log_2{\Big(2^{\log_2{3} \cdot ({\log_3{2} + \log_2{3} - 2}})}\Big)} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ = \sqrt{\log_2{3} \cdot ({\log_3{2} + \log_2{3} - 2})} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ = \sqrt{\log_2{3} \cdot \log_3{2} + \log^2_2{3} - 2 \log_2{3}} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ = \sqrt{1 + \log_2{3} \cdot (\log_2{3} - 2)} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ = \sqrt{\log_2{2} + \log_2{3^{\log_2{3} - 2}}} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} = \\\\ = \sqrt{\log_2{\Big(2 \cdot 3^{\log_2{3} - 2}\Big)}} - \log_2{3} - \dfrac{5}{2} $

Как вы можете видеть, в итоге мы просто сделали круг и вернулись к тому, что уже было ранее, в шестой сверху строке. :) Сусанин одобряет.

Из плюсов: я могу быть уверен, что нигде не ошибся в расчётах. :) Из минусов: все эти трепыхания ни к чему не привели! Я ходил по кругу! И так каждый раз. Как бы я ни пытался преобразовать это подкоренное выражение, рано или поздно я возвращаюсь к тому, что уже было!

(Оффтоп)

Понятия не имею, куда двигаться дальше. Я просто не знаю, что делать с квадратным корнем из логарифма, как его можно преобразовать?.. Похоже, я не знаю какого-то простого правила для действий с логарифмами, поэтому и не могу найти выхода.

Пытался гуглить по запросам "квадратный корень из логарифма" и "square root of logarithm", но находится только логарифм квадратного корня, который мне и так известен. :)

[Mihr]

1. Под корнем легко выделяется полный квадрат.
2. Разность логарифмов равна логарифму отношения.

[gris]

Логарифмы лучше приводить к одном основанию. А оно у нас и так одно. Значит, постараемся сделать так, чтобы в логарифмах было одинаковое число. Смотрим на $\log_2 9$. Ещё подсказка. Если есть корень из выражения, то стоит присмотреться к подкоренному выражению. А уже и написали
OFFTOP: Aritaborian, по-моему, это то самое

[Denis Russkih]

Mihr в сообщении #1107907 писал(а):

Под корнем легко выделяется полный квадрат.

А-а-а!!! :) Вот это я протупил!

Даже не подумал о полном квадрате... И всё только потому, что второе и третье слагаемое переставлены местами. :) Если бы они шли как $\log^2_2{3} - \log_2{9} + 1$, то у меня ещё были бы шансы дотумкать. Но коварная перестановка мест слагаемых сделала своё чёрное дело. :) Да-а, всё-таки в математике я просто младенец, и запутать меня так же несложно, как отобрать конфетку у ребёнка.

Спасибо! Вызволили меня из заточения! :) Теперь-то всё выглядит очень просто, конечно. Когда я узнал, в чём прикол.

gris в сообщении #1107910 писал(а):

OFFTOP: Aritaborian, по-моему, это то самое

Это Вы о чём, если не секрет?

[svv]

(Оффтоп)

Denis Russkih в сообщении #1107915 писал(а):

Да-а, всё-таки в математике я просто младенец, и запутать меня так же несложно, как отобрать конфетку у ребёнка.

Тем самым составители задач, которым удалось Вас запутать, становятся на одну ступеньку с такими нехорошими людьми.

Однажды, когда мне было четыре года, я стоял на тротуаре и ел зефир. Прохожий, проходя, выбил зефир у меня из рук. Может, и ненамеренно, но двигаться можно было и аккуратнее. Прошел и не оглянулся. Так и эти авторы задач... Теперь-то и я знаю, конечно, как надо держать конфетку.

[gris]

Denis Russkih, кстати, в обычных задачах не бывает столько сложных преобразований. Вы очень трудолюбивый человек, но всё же стоило бы на третьей строке остановиться, оглянуться Есть ещё способ научиться бороться с логарифмами и прочими чудовищами: попробуйте сами отнять конфетку. Ну, не настоящую, конечно. Попробуйте сами посоставлять задачи, запутывая самые обычные формулы.

[Denis Russkih]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1107916 писал(а):

Denis Russkih в сообщении #1107915 писал(а):

Да-а, всё-таки в математике я просто младенец, и запутать меня так же несложно, как отобрать конфетку у ребёнка.

Тем самым составители задач, которым удалось Вас запутать, становятся на одну ступеньку с такими нехорошими людьми.

Почему же сразу нехорошими? А если у ребёнка, к примеру, диабет?.. Тогда отобрать конфетку у него — не такое уж и плохое действие.

Лично я искренне восхищён тем, как меня обвели вокруг пальца, и никакой обиды на авторов задач у меня нет. :)

gris в сообщении #1107917 писал(а):

Вы очень трудолюбивый человек

Наоборот, слишком ленивый. Проделал столько действий втупую — лишь потому, что поленился как следует подумать, рассмотреть ситуацию с разных сторон. :) Не зря говорят, что ленивый работу делает дважды. В моём случае даже больше попыток вышло. :)

gris в сообщении #1107917 писал(а):

Есть ещё способ научиться бороться с логарифмами и прочими чудовищами: попробуйте сами отнять конфетку. Ну, не настоящую, конечно. Попробуйте сами посоставлять задачи, запутывая самые обычные формулы.

Спасибо, очень интересный совет. :) Надо над этим поразмыслить.

[arseniiv]

Короче, решайте дальше (другие), не останавливайтесь.

[Aritaborian]

gris в сообщении #1107910 писал(а):

Aritaborian, по-моему, это то самое

Denis Russkih в сообщении #1107915 писал(а):

Это Вы о чём, если не секрет?

Об упорстве, достойном лучшего применения ;-)

[gris]

(Оффтоп)

Нет, нет. Упорство ТС применяется вполне достойно Это касается только меня.

[Александрович]

Denis Russkih в сообщении #1107906 писал(а):

$\sqrt{\log^2_2{3} + 1 - \log_2{9}} - \log_2{\Big(12\sqrt{2}\Big)}$

Первое что приходит в голову: $\log^2_2{3} + 1 - \log_2{9}=$(\log_2{3})^2- 2\cdot (\log_2{3})\cdot 1+1^2=...

[gris]

Кстати, иногда составители вставляют ещё один подвох. Ну, например, если в логарифмах поменять местами двоечки и троечку:

$\sqrt{\log^2_3{2} + 1 - \log_3{4}} =?$

В голову приходит то же самое. А дальше?

[Mihr]

А в чём сложности? Или Вы о том, что порой нужно писать $a-b$, а порой $b-a$? Ну, так это просто вопрос внимательности, по-моему.

[Denis Russkih]

Александрович

Спасибо, конечно, но я ведь разобрался уже давно. :) После вот этого сообщения всё стало очевидно:

Mihr в сообщении #1107907 писал(а):

Под корнем легко выделяется полный квадрат.

gris

Хитро, хитро. :) Пожалуй, без подсказки Mihr я снова не догадался бы, на что следует обратить внимание. Ведь если действовать чисто на автомате, особо не вдумываясь, то запросто можно записать и так, и так:

\noindent $\sqrt{\log^2_3{2} + 1 - \log_3{4}} = \sqrt{(\log_3{2} - 1)^2} = \log_3{2} - \log_3{3} = \log_3{\dfrac{2}{3}} \\\\ \sqrt{\log^2_3{2} + 1 - \log_3{4}} = \sqrt{(1 - \log_3{2})^2} = \log_3{3} - \log_3{2} = \log_3{\dfrac{3}{2}} $

Но на самом деле арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом! Поэтому первый вариант не подходит. :) Верен только второй.

Огромное спасибо! Может, для кого-то это действительно лишь вопрос внимательности, но для меня — целое откровение. :)

[Mikhail_K]

Denis Russkih в сообщении #1107997 писал(а):

Ведь если действовать чисто на автомате, особо не вдумываясь, то запросто можно записать и так, и так:

Надо научиться чисто на автомате, не вдумываясь, писать $\sqrt{x^2}=|x|$, а не $\sqrt{x^2}=x$. А уж потом думать, как раскрывается модуль.