Есть ли ещё бесконечно разрывные функции, ~Дирихле?

[Igor_Dmitriev]

Понятно, что можно придумать разные функции, включающие в себя ф-ю Дирихле.
Или сделать функцию зависимой от свойства числа (в случае с ф-й Дирихле - рациональность).
А есть ли принципиально другие функции с бесконечным числом разрывов?
Если нет -- то какие свойства числа кроме рациональности/иррациональности можно взять, чтобы наделить функцию бесконечным числом точек разрыва?

Желательно иметь возможность записать её формулой.

[Eimrine]

Хеш-функция

[Igor_Dmitriev]

Она для дискретных аргументов вроде. Интересует для непрерывных.
Если для дискретных, то можно любую функцию mod написать тогда.

[Otta]

Вы или спрашиваете не о том, или.

Да полно всяких функций с бесконечным числом разрывов. $f(x)=\left\lfloor x\right\rfloor$ (целая часть), например, на всей вещественной прямой. Понятно, что их кучу можно наваять, все при этом не исчерпав.

Функция Дирихле - самый легкозаписываемый пример функции, разрывной в каждой точке.
Что не то же, что просто бесконечное число разрывов.

[DeBill]

Igor_Dmitriev
Функция Дирихле - это еще цветочки: ее график укладывается на две прямые. А вот слабо построить функцию, график которой плотен на всей плоскости (в любом кружочке на плоскости - есть точки графика)?

Igor_Dmitriev в сообщении #1106134 писал(а):

Желательно иметь возможность записать её формулой.

Э, много слишком хотите: все элементарные - непрерывны.

[dsge]

У тангенса тоже довольно много точек разрыва.

[Yodine]

$csc(x)$

[Igor_Dmitriev]

Неправильно выразился про ф-и с бесконечным числом точек разрыва.
Надо, чтобы в каждой точке был разрыв.
И да, ф-ю Дирихле можно записать формулой
D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x

[arseniiv]

Тогда стоит определиться, что позволительно и что нет в формулах. Потому что любую функцию можно записать формулой, состоящей из специально придуманного для этой функции обозначения.

[Igor_Dmitriev]

В формулах позволительно использовать всё, что известно по школьной математике.
Функция должна иметь разрыв в каждой точке.

[fractalon]

DeBill в сообщении #1106208 писал(а):

Функция Дирихле - это еще цветочки: ее график укладывается на две прямые. А вот слабо построить функцию, график которой плотен на всей плоскости (в любом кружочке на плоскости - есть точки графика)?

А вот не слабо. Пусть $a_1, a_2, \dots$ - перенумерованные рациональные числа. Построим функцию Дирихле $D(x)$. После этого из точек, для которых $D(x)=1$, выделим всюду плотное счётное множество и присвоим $D(x)=a_1$ для точек этого множества. Потом из тех точек, где $D(x)$ всё ещё равен $1$ выберем опять всюду плотное счётное множество и присвоим $D(x)=a_2$, и так далее.
Всюду плотное множество из остающихся точек можно выбрать всегда, приближаясь поочерёдно ко всем рациональным (выбрав для каждого рационального числа счётное множество приближений и объединив все эти множества (а их счётное количество)).
Ответа заранее не знал. Большое спасибо, очень интересное наблюдение.
Правда, уж эта конструкция в формулу точно никак не впишется.

-- 15.03.2016, 14:25 --

Можно придумать даже монотонные функции с разрывами во всех рациональных точках. Строить можно по типу множества Кантора. Могу ошибаться, но, вроде, нет.
А вот, кстати, если захотеть чтобы $f(x)$ была монотонной да ещё чтобы было $\lim \limits_{x \to x_0+0} f(x) \not = \lim \limits_{x \to x_0-0} f(x)$ для любого $x_0$ (я когда-то так хотел, например), то ничего не получится, потому что это будет практически разбиение континуума на континуальное количество непрерывных непустых отрезков. А это невозможно потому что в каждом непустом отрезке есть рациональная точка, а их множество счётно.

[venco]

DeBill в сообщении #1106208 писал(а):

Функция Дирихле - это еще цветочки: ее график укладывается на две прямые. А вот слабо построить функцию, график которой плотен на всей плоскости (в любом кружочке на плоскости - есть точки графика)?

Можно и попроще: в иррациональных точках - 0, а в рациональных $f(\frac p q)=\sin p$. Вроде, должен получиться плотный график.

[Igor_Dmitriev]

Тогда задача сводится к выделению таких множеств, что в любой окрестности точки одного множества есть точки другого множества.
Множество делится на рациональное, из которого потом выбирают подмножества, и иррациональное.

Тогда всё сводится к следующему: а есть ли другие способы деления множества чисел кроме деления на группы рациональных и группу из иррациональных чисел, чтобы в любой окрестности точки одного множества имелись точки другого множества?

[arseniiv]

Можно выбрать несколько линейно независимых над $\mathbb Q$ чисел $a_1,\ldots,a_n$ (например, набор $\sqrt2,\sqrt3,e,\pi$ годится) и взять множества $a_i\mathbb Q$ и остаток $\mathbb R\setminus\bigcup_i a_i\mathbb Q$. Деление на рациональные и иррациональные соответствует выбору набора из одного числа 1 (или любого другого ненулевого рационального).

[gris]

То есть надо найти всюду плотное множество, чтобы дополнение к нему было тоже всюду плотным. Подходят любые счётные всюду плотные множества. Но можно сделать и два несчётных, например, дополнив рациональные числа канторовым множеством.