Вращение двух дисков

[Charlz_Klug]

Задача:
Горизонтальный диск вращается с угловой скоростью $\omega_1$ вокруг вертикальной оси. В некоторой точке на этом диске на расстоянии $R$ от его оси установлен второй диск, ось которого также вертикальна. Второй диск вращается вокруг своей оси в ту же сторону, что и первый диск, но с угловой скоростью $\omega_2$. Где располагается та мгновенная ось вращения, движение вокруг которой второго диска будет эквивалентно его участию в двух описанных вращательных движениях с угловыми скоростями $\omega_1$ и $\omega_2$?

Ответ:
Искомая мгновенная ось вращения будет описывать окружность с радиусом $r = \frac {\omega_2 R} {\omega_1 + \omega_2}$ вокруг оси первого диска.

Как я пытался думать:
Нарисовал картинку:

Здесь большая окружность обозначает большой диск с центром в точке $O$, $O_1$ - это центр малого диска в начальный момент времени. Я взял точку $A$ на окружности малого диска. Пусть диски вращаются против часовой стрелки. Тогда движение точки $O_1$ можно описать через координаты $x_0$ и $y_0$, где $x_0 = -R \sin{\omega_1 t}$ и $y_0 = R \cos{\omega_1 t}$, где $t$ - время, прошедшее с начала движения. Если совместить ось малого диска $O_1$ с осью большого диска $O$, то результирующая угловая скорость вращения будет равна $\omega_1 + \omega_2$. При этом движение точки $A$ будет описываться через координаты $x_A = - R' \sin{(\omega_1 + \omega_2)t}$ и $y_A = R' \cos{(\omega_1 + \omega_2) t}$, где $R'$ - это радиус малого диска. Тогда общее уравнение движения точки $A$ относительно неподвижной системы координат $OXY$ будет выглядеть так: $x = x_0 + x_A = -R \sin{\omega_1 t} - R' \sin{(\omega_1 + \omega_2)t}$ и $y = y_0 + y_A = R \cos{\omega_1 t} + R' \cos{(\omega_1 + \omega_2) t}$. Всё, на этом мысль закончилась.

Дальше я подсмотрел ответ, возник вопрос: если $r = \frac {\omega_2 R} {\omega_1 + \omega_2}$ то очевидно, что $r < R$ но тогда точка $A$ не может дотянуться до своего положения при двухсоставном движении. О каком эквивалентном движении в этом случае можно говорить?

[amon]

Charlz_Klug в сообщении #1103244 писал(а):

то очевидно, что $r < R$

Одна из задач, для решения которой почти ничего знать не надо, достаточно соображать.
1. Где мгновенная ось катящегося колеса?
2. По какой поверхности должен катиться второй диск, что бы все было как в задаче?

[svv]

На Вашей картинке отрезок $O O_1$, соединяющий оси дисков, выглядит вертикальным (в данный момент времени). Рассмотрим скорости точек второго диска на этом отрезке в этот момент.

Допустим, первый диск вращается, а второй прилип к первому, так что нет смысла его рисовать отдельно (левая картинка). Каждая точка на отрезке движется влево с линейной скоростью $v_1=\omega_1r_1$, где $r_1$ — расстояние от центра первого диска до точки.

Теперь пусть первый диск неподвижен, а второй диск вращается (правая картинка). Каждая точка на отрезке движется влево с линейной скоростью $v_2=-\omega_2 r_2$ (т.е. фактически вправо, т.к. скорость отрицательная), где $r_2$ — расстояние от центра второго диска до точки.

Если вращаются оба диска, скорость движения точек влево на этом отрезке будет
$v=v_1+v_2=\omega_1 r_1-\omega_2 r_2$
У какой-то из точек, очевидно, линейная скорость $v$ будет нулевой. Найдите её $r_1$, учитывая, что $r_1+r_2=R$.

[Charlz_Klug]

amon в сообщении #1103277 писал(а):

Одна из задач, для решения которой почти ничего знать не надо, достаточно соображать.
1. Где мгновенная ось катящегося колеса?

Если я всё правильно понял, то мгновенная ось малого катящегося колеса - это ось, перпендикулярная плоскости вращения малого колеса и проходящая через точку малого колеса, скорость которой для стороннего наблюдателя равна нулю в отдельно взятый момент времени. Верно?

[amon]

Charlz_Klug в сообщении #1104453 писал(а):

Верно?

Да! Только возникает вопрос - что-ж это за точка такая? Где она для колеса, катящегося по неподвижной кривой (движение плоское)? А вообще, то что я предлагаю - это некий кунштюк, позволяющий за недорого решить данную задачу, но не работающий в общем случае.

[Charlz_Klug]

amon в сообщении #1104466 писал(а):

Да! Только возникает вопрос - что-ж это за точка такая? Где она для колеса, катящегося по неподвижной кривой (движение плоское)?

Пока не разобрался с кривой, но если судить по колесу, катящемуся по плоскости - то искомой точкой будет точка, касающаяся поверхности.

Колесо катится по плоскости $OX$, скорость колеса $\upsilon_0$, радиус колеса $R$. Угловая скорость равна $\omega = \frac {\upsilon_0} {R}$. Угол, на который повернулось колесо за время $t$ равно $\alpha = \omega t = \frac {\upsilon_0} {R} t = \frac {\upsilon_0 t} {R}$. Координата точки, соприкасающейся с поверхностью относительно центра колеса меняется по закону $x' = -R \sin{\alpha}$. Координата самого центра колеса относительно поверхности меняется по закону $x'' = \upsilon_0 t$. Тогда координата точки на ободе колеса относительно поверхности по которой катится колесо меняется по закону $x = x'' - x' = \upsilon_0 t - R \sin{\alpha} = \upsilon_0 t - R \sin{\frac {\upsilon_0 t} {R}}$. Тогда дифференцируя $x$ по $t$ получаем скорость по оси $OX$: $\upsilon_x = \upsilon_0 - \upsilon_0 \cos {\frac {\upsilon_0 t} {R}} = \upsilon_0 (1 - \cos {\frac {\upsilon_0 t} {R}})$. Отсюда ясно, что $\upsilon_0 = 0$ при $t = 2 \pi k \frac {R} {\upsilon_0}, k \in Z$, значит, что моментальная ось всё время находится в точке соприкосновения с поверхностью. Если придерживаться такого-же рассуждения, то получается, что малое колесо должно крутится по поверхности окружности, центр которого совпадает с центром большого колеса.

[amon]

Charlz_Klug в сообщении #1104777 писал(а):

малое колесо должно крутится по поверхности окружности, центр которого совпадает с центром большого колеса.

Угу. А теперь пусть маленькое колесико катится по такой неподвижной окружности. Поскольку ось маленького колесика приделана к большому колесу, оно будет раскручивать и большое колесо. Как подобрать радиус маленького колеса (и, соответственно, радиус неподвижной окружности) так, что бы угловые скорости были бы как в условиях задачи?

[Charlz_Klug]

amon в сообщении #1104840 писал(а):

А теперь пусть маленькое колесико катится по такой неподвижной окружности. Поскольку ось маленького колесика приделана к большому колесу, оно будет раскручивать и большое колесо.

Если угловую скорость малого колеса обозначить через $\omega_2$, а скорость вращения большого через $\omega_1$, то скорость вращения большого колеса будет противоположной скорости малого колеса. Обозначим радиус малого колеса через $R'$, а радиус колеса, с которым соприкасается малое колесо обозначим через $r$, тогда путь пройденный обеими колесами за единицу времени будет равен $r \omega_1 = - R' \omega_2$, учтём, что $r + R' = R$. Получаем: $R' = R - r$. Тогда
$r \omega_1 = - R' \omega_2 \Rightarrow r \omega_1 = - (r - R) \omega_2 \Rightarrow r \omega_1 = (R - r) \omega_2 \Rightarrow$
$r \omega_1 = R \omega_2 - r \omega_2 \Rightarrow r \omega_1 + r \omega_2 = R \omega_2 \Rightarrow r (\omega_1 + \omega_2) = R \omega_2 \Rightarrow r = \frac {R \omega_2} {\omega_1 + \omega_2}$
Теперь стало понятно, спасибо Вам и svv за объяснения.