Зорич Мат. анализ 1 том доказательство

[Ellan Vannin]

tolstopuz в сообщении #1107091 писал(а):

$(1a)\qquad\forall x_1\forall x_2\forall y(x_1\mathcal{R}_1y\wedge y\mathcal{R}_2x_2\Rightarrow x_1=x_2),$

Насколько я понимаю, вы хотите записать условие инъективности $\mathcal{R}_1$ :
$(1a)\qquad\forall x_1\forall x_2\forall y(x_1\mathcal{R}_1y\wedge x_2\mathcal{R}_1 y\Rightarrow x_1=x_2)$, но вместо $x_2\mathcal{R}_1 y$ написано $y \mathcal{R}_2 x_2$.

anderlo в сообщении #1106751 писал(а):

Спасибо, но трудность тут в том, чтобы показать, что $\mathcal{R}_2$ действительно обратно $\mathcal{R}_1$.

Трудность именно в этом. С чего бы ему быть обратным? Но если удалось бы доказать, что $\mathcal{R}_2=\mathcal{R}_1^{-1}$, то всё дальнейшее решение уже не представляет никакой проблемы.

[tolstopuz]

Ellan Vannin в сообщении #1107099 писал(а):

Насколько я понимаю, вы хотите записать условие инъективности $\mathcal{R}_1$

Нет, я просто записал включение $\mathcal{R}_2\circ\mathcal{R}_1\subset\Delta_X$ (следствие данного в условии равенства множеств) через элементы этих множеств. Вы можете сделать это самостоятельно, чтобы убедиться, что это просто следствие условия и при этом не вводится никаких дополнительных предположений об инъективности или каких-либо других.

[Ellan Vannin]

Да, всё правильно: тут подробно записано утверждение о принадлежности пар диагонали.

tolstopuz в сообщении #1107100 писал(а):

при этом не вводится никаких дополнительных предположений об инъективности

Да.

(Оффтоп)

tolstopuz в сообщении #1107091 писал(а):

Подставляя $(4)$ и $(3a)$ в $(1a)$, имеем

$$(5)\qquad\ldots.$$

Подставляя $x_1 \mathcal{R}_1 y_1 \land y_1 \mathcal{R}_2 x $ в $1a$, получаем равенство иксов.

tolstopuz в сообщении #1107091 писал(а):

Подставляя $(\ldots)$ и $(\ldots)$ с учетом $(5)$ в $(2a)$, имеем

$$(6)\qquad y_2=y_1.$$

Подставляя $y_2 \mathcal{R}_2 x \land x_1 \mathcal{R}_1 y_1 $ в $2a$ c учетом равенства иксов, получаем $y_2=y_1$

[anderlo]

Вроде все получилось, благодаря нашим дебатам))
Пусть $\mathbf{\Delta _X}$ - диагональ множества $X^2$ и $\mathbf{\Delta _Y}$ - диагональ множества $Y^2$.
Покажите, что если отношения $\mathcal{R}_1 \subset$ X\times Y$ и $\mathcal{R}$_2\subset$ Y\times X$ таковы, что
$ (\mathcal{R}_2\circ \mathcal{R}_1 = \Delta _X)\wedge ( \mathcal{R}_1\circ \mathcal{R}_2 = \Delta _Y) $, то оба они функциональны и
задают взаимно обратные отображения множеств $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Y}$.
Полное доказательство:

Сначала докажем, сюръективность отображений X и Y. Т.е. для каждого $x\in X$ найдется элемент $y\in Y$ и наоборот для каждого $y\in Y$ найдется $x\in X$.
С учетом условий задачи определение композиции $\mathcal{R}_2\circ \mathcal{R}_1$ $ примет вид:
$ \mathcal{R}_2\circ \mathcal{R}_1 = $\left\lbrace (x_1;x_2)|\exists y_1(x_1 \mathcal{R}_1 y_1)\wedge (y_1 \mathcal{R}_2 x_2)\right\rbrace$. Т.к. данная композиция по условию - множество пар образующих диагональ $(x_1 = x_2)$, то ее определение можно переписать в виде:
$ \mathcal{R}_2\circ \mathcal{R}_1 = $\left\lbrace (x_1;x_1)|\exists y_1(x_1 \mathcal{R}_1 y_1)\wedge (y_1 \mathcal{R}_2 x_1)\right\rbrace$. Отсюда видно, что для любого $x_1$ такой $y_1$ найдется, иначе бы такой пары не существовало. Таким образом мы установили сюръективность отображения X на Y.
Возьмем теперь $y_1$, который, как мы увидели, существует и, с учетом условий, запишем определение композиции $\mathcal{R}_1\circ \mathcal{R}_2 $
$ \mathcal{R}_1\circ \mathcal{R}_2 = $\left\lbrace (y_1;y_1)|\exists x(y_1 R_2 x)\wedge (x R_1 y_1)\right\rbrace$. По аналогии заключаем, для любого $y_1$найдется $x$. Т.е. отображение множества Y на X также сюръективно. Теперь докажем инъективность данных отображений. Рассмотрим значения $x,x_1,y_1$. Мы установили, что они существуют, а также выполняется система условий:
$(x_1 \mathcal{R}_1 y_1)\wedge (y_1 \mathcal{R}_2 x_1)$
$(y_1 \mathcal{R}_2 x)\wedge (x \mathcal{R}_1 y_1)$.
Таким образом для данных $x, x_1, y$ мы вправе сказать что выполняется условие: $(x_1 \mathcal{R}_1 y_1)\wedge (y_1 \mathcal{R}_2 x)$. Но выполнение этих условий говорит о существовании пары $(x_1;x)$, которая будет принадлежать композиции $\mathcal{R}_2\circ \mathcal{R}_1 $, следовательно $x=x_1$. (Из этого следует инъективность и биективность отображения X на Y). Точно так же можно показать инъективность отображения Y на X, а следовательно взаимнообратное отображение множеств X и Y. Но равенство $x$ и $x_1$ было бы невозможно если бы не выполнялись условия:
$(x \mathcal{R}_1 y_1)\wedge (x_1 \mathcal{R}_1 y_1)$. Другими словами равенство $x$ и $x_1$ является следствием выполнения этих двух условий. Из этого следует функциональность $\mathcal{R}_1$. Аналогично можно показать функциональность $\mathcal{R}_2$. Вот и все!

Если я в чем-то ошибаюсь, пожалуйста исправьте меня.

[tolstopuz]

anderlo в сообщении #1107172 писал(а):

Теперь докажем инъективность данных отображений. Рассмотрим значения $x,x_1,y_1$. Мы установили, что они существуют

anderlo в сообщении #1107172 писал(а):

Таким образом для данных $x, x_1, y$

Вы что-то доказываете не для произвольных $x_1, y_1$, а для тех, которые "нашлись" на ваших предыдущих шагах. Это не доказательство инъективности.

Вообще-то от вас требуется доказательство не инъективности, а функциональности, потому что инъективность определена только для функций, а у вас отношения. И то, что вы называете сюръективностью, на самом деле должно звучать как "докажем, что областью определения отношения $\mathcal{R}_1$ является все множество $X$, а отношения $\mathcal{R}_2$ - все множество $Y$".

Доказательство функциональности отношения $\mathcal{R}_1$ должно начинаться словами "допустим, что" и цитатой из Зорича: $(x\mathcal{R}_1y_1)\wedge(x\mathcal{R}_1y_2)$, и заканчиваться словом "следовательно" и цитатой из Зорича: $y_1=y_2$. И остановитесь на этой формулировке, а то у вас постоянно то "следует равенство $y_1$ и $y_2$", то "прийти к равенству $x_1$ и $x_2$", то "равенство $x$ и $x_1$", это запутывает.

Доказательство я почти расписал выше, там надо только заменить $\mathcal{R}_2$ на $\mathcal{R}_1$ и поменять несколько букв местами.

Итого, решение задачи должно выглядеть так:

1. Докажем, что областью определения отношения $\mathcal{R}_1$ является все множество $X$. Пусть $x$ - произвольный элемент множества $X$, тогда ..., следовательно, $\exists y\ x\mathcal{R}_1y$.
2. Докажем, что областью определения отношения $\mathcal{R}_2$ является все множество $Y$. Пусть $y$ - произвольный (у вас в этом месте опять ошибка - вы берете не произвольный элемент, а полученный на шаге 1) элемент множества $Y$, тогда ..., следовательно, $\exists x\ y\mathcal{R}_2x$.
3. Докажем, что $\mathcal{R}_1$ функционально. Пусть $(x\mathcal{R}_1y_1)\wedge(x\mathcal{R}_1y_2)$, тогда ..., следовательно, $y_1=y_2$. С учетом п. $1$ $\mathcal{R}_1$ является отображением из $X$ в $Y$.
4. Докажем, что $\mathcal{R}_2$ функционально. Пусть $(y\mathcal{R}_2x_1)\wedge(y\mathcal{R}_2x_2)$, тогда ..., следовательно, $x_1=x_2$. С учетом п. $2$ $\mathcal{R}_2$ является отображением из $Y$ в $X$.
5. Докажем, что $\mathcal{R}_1$ и $\mathcal{R}_2$ взаимно обратны. Пусть $x\mathcal{R}_1y$, тогда ..., следовательно, $y\mathcal{R}_2x$. Обратно, пусть $y\mathcal{R}_2x$, тогда ..., следовательно, $x\mathcal{R}_1y$.

[anderlo]

tolstopuz в сообщении #1107184 писал(а):

Вообще-то от вас требуется доказательство не инъективности, а функциональности, потому что инъективность определена только для функций, а у вас отношения.

Доказательство инъективности и сюръективности требуется для доказательства взаимообратности отображений. Инъективность это свойство отображения, а не функции. А функциональность отношений следует из выполнения системы условий и не имеет прямого отношения к доказательству инъективности.

[tolstopuz]

anderlo в сообщении #1107189 писал(а):

Инъективность это свойство отображения, а не функции.

Вам даны два отношения. Вы с первой же фразы доказательства называете их отображениями и говорите об их инъективности и сюръективности. На каком основании вы это делаете?

anderlo в сообщении #1107189 писал(а):

А функциональность отношений следует из выполнения системы условий

В задаче от вас требуется доказать, что оба данных отношения функциональны. Доказательство инъективности чего бы то ни было не имеет прямого отношения к задаче и разве что может использоваться как вспомогательное утверждение. Но инъективность определена только для отображений, т. е. функций, а не для произвольных отношений. Поэтому прежде чем вы в первый раз произнесете применительно к $\mathcal{R}_1$ или $\mathcal{R}_2$ слово "инъективность" или "сюръективность", функциональность должна быть уже доказана.

Только что заметил, что вы не считаете слова "отображение" и "функция" синонимами. А Зорич считает (пятый снизу абзац стр. 21 вашего издания). Разберитесь с этой путаницей.

[anderlo]

anderlo в сообщении #1107172 писал(а):

равенство $x$ и $x_1$ было бы невозможно если бы не выполнялись условия:
$(x \mathcal{R}_1 y_1)\wedge (x_1 \mathcal{R}_1 y_1)$.

Здесь я действительно ошибся равенство $x_1$ и $x$ следует из выполнения условий:
$(y_1 \mathcal{R}_2 x)\wedge (y_1 \mathcal{R}_2 x_1)$

[tolstopuz]

anderlo в сообщении #1107195 писал(а):

Здесь я действительно ошибся

Первая ошибка у вас в первом предложении доказательства, где множество $X$ (даже не отношение $\mathcal{R}_1$!) вы называете отображением.

[anderlo]

Я правильно вас понял что из функциональности обоих отношений следует взаимообратность отображений X и Y ?

-- 16.03.2016, 20:05 --

tolstopuz в сообщении #1107198 писал(а):

Первая ошибка у вас в первом предложении доказательства, где множество $X$(даже не отношение $\mathcal{R}_1$!) вы называете отображением.

Согласен следовало написать X в Y и Y в X...

[tolstopuz]

anderlo в сообщении #1107199 писал(а):

Я правильно вас понял что из функциональности обоих отношений следует взаимообратность отображений X и Y ?

Взаимнообратность легко следует прямо из исходного условия на диагонали. Для доказательства я этого выделил пункт $5$ плана.

anderlo в сообщении #1107199 писал(а):

Согласен следовало написать X в Y и Y в X...

Что $X$ в $Y$?

[Ellan Vannin]

tolstopuz в сообщении #1107184 писал(а):

доказательство не инъективности, а функциональности, потому что инъективность определена только для функций, а у вас отношения.

Это неверно. Инъективность (как и сюръективность) определяется для любых бинарных отношений.

tolstopuz в сообщении #1107194 писал(а):

Но инъективность определена только для отображений, т. е. функций, а не для произвольных отношений. Поэтому прежде чем вы в первый раз произнесете применительно к $\mathcal{R}_1$ или $\mathcal{R}_2$ слово "инъективность" или "сюръективность", функциональность должна быть уже доказана.

Бинарные отношения могут быть инъективны и/или сюръективны независимо от прочих свойств.

[anderlo]

Да действительно, я профукал одинаковость понятий "функциональность" и "отображение"! Спасибо за ваши уточнения!
Получается мне просто не нужно делать выводы о инъекции и сюръекции, а взаимообратность будет следствием функциональности?

[Ellan Vannin]

anderlo в сообщении #1107205 писал(а):

я профукал одинаковость понятий "функциональность" и "отображение"! Спасибо за ваши уточнения!

Какая одинаковость? Это неверно. Кроме функциональности требуется полнота слева.

[tolstopuz]

Ellan Vannin в сообщении #1107204 писал(а):

Инъективность (впрочем как и сюръективность) определяется для любых бинарных отношений.

Мы разбираем задачу из Зорича, поэтому надо пользоваться определениями из Зорича. У него инъективность и сюръективность определяется только для отображений.

-- Ср мар 16, 2016 19:25:59 --

Ellan Vannin в сообщении #1107206 писал(а):

Кроме функциональности требуется полнота слева.

У Зорича вскользь говорится "определенное на $X$", легко пропустить.

-- Ср мар 16, 2016 19:29:09 --

anderlo в сообщении #1107205 писал(а):

взаимообратность будет следствием функциональности?

Она вообще легкое следствие условия: если $x\mathcal{R}_1y$, то из ... следует существование $x_1$, такого, что $y\mathcal{R}_2x_1$, а из ... получаем $x=x_1$, так что $y\mathcal{R}_2x$. Аналогично и обратное.