Растяжение заряженного кольца

[4caster]

Доброго времени суток. Решал следующую задачку из сборника Чертова:

По тонкому кольцу радиусом $R$ =10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью $T$=1 нКл/м. В центре кольца находится заряд $Q$=0,4 мкКл. Определить силу $F$, растягивающую кольцо. Взаимодействием зарядов кольца пренебречь.

Долго ломал над ней голову. Брал сперва искал силу $dF$, искал ее значение, $\frac{Q dq}{4\pi E_0 R}$. Затем через линейную плотность искал $dq =T dl$. После всего этого проецировал $dF$ на оси и брал интеграл для угла от $-\pi/2$ до $\pi/2$. В результате вычислений получал формулу для силы $F =\frac{QT}{2\pi E_0 R}$ .

После подстановок ответ все не сходился, был в 2 раза больше нужного. В итоге порылся в интернете и нашел решение. Оказалось, я делал все правильно за исключением того, что не учел, что на тело действуют какие то две силы $T_1$ и $T_2$. Так вот, в чем мой вопрос: что это за силы и почему они возникают? Помогите разобраться, очень интересно.

Найденный вариант рисунка из решения:

[slavav]

$T_1$ и $T_2$ это, вероятно, силы реакции опоры, которые нужны, чтобы одна половина кольца не улетела от другой под действием электростатики. Как вы понимаете фразу "силу, растягивающую кольцо"?

[4caster]

slavav в сообщении #1106923 писал(а):

ии опоры, которые нужны, чтобы одна половина кольца не улетела от другой под действием электростатики. Как вы понимаете фразу "силу, растягивающую кольцо"?

Примерно так же, как фразу "Воздух, растягивающий шарик". Я не понимаю, почему они имеют такое направление. Мне казалось, что они должны быть ортогональны кривой кольца. Но более всего непонятно, почему их две.

[Pphantom]

Сменил название темы на более информативное.

[slavav]

Фраза про воздух ещё сложнее и хуже фразы про кольцо. Замените кольцо на заряженную цепочку. Как направлены растягивающие силы в этой цепочке?
Подсказка: я заменил кольцо на цепочку не спроста. Какие силы действуют на одно звено? Какие из них малы, какие велики?

[4caster]

slavav в сообщении #1106932 писал(а):

Фраза про воздух ещё сложнее и хуже фразы про кольцо. Замените кольцо на заряженную цепочку. Как направлены растягивающие силы в этой цепочке?
Подсказка: я заменил кольцо на цепочку не спроста. Какие силы действуют на одно звено? Какие из них малы, какие велики?

Аа, вы наверное имеете ввиду упругие силы! И раз одно звено соединено с двумя другими, получается, что на него действуют 2 силы. Но они же будут направлены по касательной к самому звену?

[slavav]

Точно!
Есть ещё третья сила - звено заряжено. Но про неё можно показать что она мала по сравнению с силами, которые растягивают звено.
В итоге силы разрывающие кольцо направлены по касательной к кольцу. Осталось увязать $T_1$, $T_2$ с той силой которую вы вычислили.

[svv]

Интересный момент. Возьмём дугу окружности с центральным углом $2\alpha$ (на картинке все углы, обозначенные зелёными дужками, равны $\alpha$). Пусть к дуге приложена распределённая сила, в каждой точке направленная ортогонально к кривой (голубые стрелочки). Линейная плотность силы постоянна и равна $f$, т.е. на малый участок кривой длиной $ds$ действует сила $f\mathbf n \;ds$, где $\mathbf n$ — нормаль.
Распределённая сила уравновешивается двумя силами, приложенными к концам дуги, равными по модулю ($T$) и направленными по касательным (красные стрелки). Требуется найти модуль $T$ касательных сил.

Проекция равнодействующей на ось $y$ нулевая в силу симметрии.
Требуем, чтобы её проекция на ось $x$ также была нулевой:
$-2T\sin\alpha+\int\limits_{-\alpha}^{+\alpha} f\cos\varphi\; R\;d\varphi=0$
Отсюда $T=fR$, а удивительно то, что модуль каждой уравновешивающей касательной силы не зависит от угловой меры дуги.

[slavav]

Этому есть простое физическое объяснение: растягивающие силы в каждой точке кольца одинаковы по модулю.