Мощность

[svv]

maximk
Вы можете взять произвольное конечное множество. Можете взять счётное. Можете взять множество вещественных чисел на отрезке $[0, 1]$, или на всей вещественной прямой — это континуум. Это Ваш строительный материал. Вы можете над этими множествами совершать какие-то операции: находить их пересечения, объединения, дополнения, декартовы произведения, получая новые множества. Причем можете делать это не только конечное, но и счётное количество раз. Но никакие такие построения не приведут Вас к множеству промежуточной мощности. Его просто невозможно построить из доступного нам материала доступными нам средствами — будет либо недолёт (конечное или счётное), либо перелёт (континуум и выше). Оно находится в мире, куда из нашего мира не ведёт ни одна дорога. Поэтому Вы в равной степени можете принять, что оно существует, либо — что не существует.

[Someone]

maximk в сообщении #1106490 писал(а):

все же речь идет о человеческих возможностях или о возможностях нынешней математики?

Это — пустая "хвилозофия". Имеется формальная теория со своим списком аксиом, и доказано, что в этой теории некое утверждение нельзя ни доказать ни опровергнуть. Что может случиться с этим утверждением при каком угодно развитии математики? Ничего. Математики могут прекратить пользоваться данной теорией и вместо неё использовать другую, но доказанное утверждение никуда не денется. При этом в новой теории рассматриваемое утверждение вполне может оказаться доказуемым или опровержимым, и даже вообще лишённым смысла. Но доказанное утверждение никуда не денется. Например, теоремы, доказанные во времена Пифагора или Евклида, никуда не делись, хотя математика у нас сейчас совсем другая.

Здесь постоянно употребляется термин "конструктивный". В классической математике его значение весьма далеко от значения, подразумеваемого в конструктивной математике (А. Мостовский. Конструктивные множества и их приложения. "Мир", Москва, 1973). Термин был введён Гёделем. Конструктивные множества — это множества, которые можно построить некоторым трансфинитным процессом, пробегающим все ординалы. В результате получается совокупность множеств, которая является моделью ZF. В этой модели оказываются выполненными аксиома выбора и обобщённая континуум-гипотеза. В книге Мостовского рассматривается обобщение этой конструкции, позволяющее строить модели с разными свойствами.

Множество, конструктивное в смысле Гёделя (лучше было бы называть такие множества определимыми), обязано существовать, так как его существование следует из аксиом ZF. Множество промежуточной мощности между $\aleph_1$ и $2^{\aleph_0}$ конструктивным не является, поэтому существовать не обязано.

Кстати, множество всех (не более чем) счётных ординалов имеет мощность $\aleph_1$. Если континуум-гипотеза справедлива, то это множество равномощно множеству действительных чисел. Если континуум-гипотеза ложна, то "эти же самые" множества не равномощны.

maximk в сообщении #1106546 писал(а):

Что не отрицает существования этого описания.

Э-э-э…

Mikhail_K в сообщении #1106091 писал(а):

Вот и множество промежуточной мощности, даже если оно существует, не входит в это счётное количество (при запрете на использование аксиомы о его существовании). Можно считать, что оно настолько сложное, что его описание находится за гранью человеческих возможностей.

Это нехорошо сказано, что сразу же вызвало неадекватную реакцию нашего хвилозофа. Математика не оперирует "человеческими возможностями".

[maximk]

svv, его существование зависит от теории, в рамках которой это утверждается?

[svv]

Да.

[arseniiv]

Уж не знаю, какими словами надо что-то повторять, но доказанная независимость CH от ZFC ровно означает, что в ZFC нельзя построить пример множества промежуточной мощности. То бишь, доказать $\exists!s.\mathsf{intermediateCardinaliry}(s)\wedge\mathsf{someMagicProperty}(s)$ — только тогда мы можем ввести определение, т. е. ввести константу $\mathsf{newShinySet}$ и определяющую аксиому

$$\mathsf{intermediateCardinaliry}(\mathsf{newShinySet})\wedge\mathsf{someMagicProperty}(\mathsf{newShinySet}).$$

Потому что из этого следовало бы $\exists s.\mathsf{intermediateCardinaliry}(s)$, что есть ¬CH, и CH не была бы независима от ZFC.

[maximk]

Спасибо за помощь.
Если есть что-то интересное по этой теме, можете продолжить.

[arseniiv]

По этой теме есть много интересных учебников матлогики и/или — смотря что имелось в виду под «этой темой» — теории множеств.

[maximk]

(Оффтоп)

Кстати, дома есть порядка 100 книг по математике, в т.ч. по матлогике, в частности по теории множеств, теории моделей, теории доказательств. Если кому инетресно, обращайтесь в ЛС, могу хоть все пораздавать или обменять на что-нибудь