как доказать что объединение топологий это топология

[Ice..RaiN]

Ребят подкиньте идею доказательства, пусть A и B топологии на некотором множестве X, как доказать что их объединение (пересечение) будет топологией? Да и если не сложно, подскажите литературу в которой бы разбирались задачи по топологии, примеры решений и доказательства

[svv]

А что называется топологией? Найдите, что получается в результате пересечения (объединения) и проверьте, что оно удовлетворяет нужным условиям.

[Ice..RaiN]

при пересечении, все аксиомы выполняются, а вот объединение пока не могу понять

[oskar_808]

Ice..RaiN
Лучший вариант для начала -- "Элементарная топология" (Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов): http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-index.html.

-- 13.03.2016, 17:28 --

Теперь на счёт вопроса.

Пересечение топологий действительно является топологией (тривиальное следствие аксиом), а вот объединение, вообще говоря, нет.

Рассмотрим множество $X=\{1,2,3\}$ и две топологии на нём: $T_1=\{\varnothing, \{1\},X\}$ и $T_2=\{\varnothing, \{2\},X\}$. Тогда $T_1\cup T_2$ не является топологией на $X$.

[Ice..RaiN]

oskar_808 в сообщении #1106336 писал(а):

Ice..RaiN
Лучший вариант для начала -- "Элементарная топология" (Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов): http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-index.html.

-- 13.03.2016, 17:28 --

Теперь на счёт вопроса.

Пересечение топологий действительно является топологией (тривиальное следствие аксиом), а вот объединение, вообще говоря, нет.

Рассмотрим множество $X=\{1,2,3\}$ и две топологии на нём: $T_1=\{\varnothing, \{1\},X\}$ и $T_2=\{\varnothing, \{2\},X\}$. Тогда $T_1\cup T_2$ не является топологией на $X$.

Спасибо за пример! Тут сразу такой вопрос, к примеру у нас есть три топологии $T_1,T_2,T_3$ на некотором множестве X, будет ли топологией семейство $(T_1 \bigcap T_3) \bigcup (T_2 \bigcap T_3)$. Обе скобки являются топологиями, причем в первой скобке будут те множества $T_3$ которые есть в $T_1$ (в самом худшем случае это будет только пустое и все множество), а во второй скобке будут те множества $T_3$ которые есть в $T_2$ . Получается при объединении этих скобок будут только множества $T_3$ могут как все множества из $T_3$ или тривиальная топология либо какое то определенное количество. Так получается это семейство является топологией??

[Anton_Peplov]

Ice..RaiN в сообщении #1106566 писал(а):

будет ли топологией семейство $(T_1 \bigcap T_3) \bigcup (T_2 \bigcap T_3)$.

Нет, не будет. Контрпример придумайте сами.

[oskar_808]

Ice..RaiN
Вообще говоря, нет. Согласно дистрибутивности объединения-пересечения множеств, имеем $(T_1\cap T_3)\cup(T_2\cap T_3)=(T_1\cup T_2)\cap T_3$. Теперь если взять в качестве $T_3$ дискретную топологию, получаем $(T_1\cup T_2)\cap T_3=T_1\cup T_2$, таким образом сводя задачу к приведённому мной примеру для объединения.

Цитата:

"Найдите, что получается в результате пересечения (объединения) и проверьте, что оно удовлетворяет нужным условиям."
"Нет, не будет. Контрпример придумайте сами."

Я так смотрю, тут все такие крутые топологи - Филдсовские лауреаты, им не до того, чтобы объяснять кому-то решения задачек.

[Anton_Peplov]

oskar_808
Правила форума прямо запрещают публиковать полные решения учебных задач. Можно лишь подсказывать, в каком направлении думать.