ТФКП

[dimko239]

Дана $f(z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac {{\cos t} dt} {t^2+z^2} $. Функция задана в $|z-1|<\epsilon$. Куда можно продолжить аналитически данную функцию? Вроде, интегралы Коши тут не причем?!

[ddn]

dimko239 писал(а):

Дана $f(z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac {{\cos t} dt} {t^2+z^2} $. Функция задана в $|z-1|<\epsilon$. Куда можно продолжить аналитически данную функцию? Вроде, интегралы Коши тут не причем?!

Чего тут продолжать! Можно вычислить в явном виде через вычеты. Область $|z-1|<\epsilon$ можно расширить до $Re(z)>0$, или же $Im(iz)>0$.
$f(z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac {{\cos t} dt} {t^2+z^2} = \lim\limits_{N\to+\infty}(\int\limits_{-N}^{+N} \frac {{\cos t} dt} {t^2+z^2}+\int\limits_{\phi=0}^{\pi} \frac {{\cos(Ne^{i\phi})} d(Ne^{i\phi})} {(Ne^{i\phi})^2+z^2}) = 2\pi i \cdot res\limits_{t=iz}(\frac {\cos t} {t^2+z^2}) = 2\pi i (\frac {\cos t} {t+iz})|_{t=iz} = 2\pi i \frac {\cos (iz)} {2iz} = \pi\frac {e^{z}+e^{-z}} {2z}$
Продожается на всю комплексную плоскость, кроме точки $z=0$, где имеет место полюс, точка $z=\infty$ существенно особая.

[dimko239]

А если $z^2$ попадет на контур интегрирования, то на нем будет особая точка и таким образом мы интеграл уже не вычислим...

[dimko239]

Так что вроде вычислить интеграл мы можем тока когда $z$ не попадает на мнимую ось? А что делать с этими точками?

Добавлено спустя 32 минуты 28 секунд:

А, то есть мы продолжили нашу функцию вначале на $Re(z)>0$, гомотопно изменяя путь интегрирования, а потом уже пытаемся продолжить функцию $f(z)=\pi\frac {e^z+e^{-z}} {2z}$ на $Re(z)<=0$. А в этой области у нашей функции только одна особая точка - $0$ (полюс), а значит можем продолжить везде, кроме $0$, так?!

[Brukvalub]

Именно так.

[dimko239]

Спасибо

[dimko239]

А я правильно понимаю, что интеграл мы считаем по полуокр-ти, которая лежит в верхней полуплоскости? Но как получается первое равенство, где мы переходим к пределу?

Я попытался вычислить этот интеграл, посчитав вначале $\int\frac {{e^{it}} dt} {t^2+z^2} $ по такому же контуру(на самой полуокр-ти он 0, а на диаметре стремится к $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac {{e^{it}} dt} {t^2+z^2} $ ). Потом расписал его по формуле Эйлера, получил два интеграла, с синусом и косинусом, а тот что с синусом равен нулю из-за нечетности функции... Ответ выходит другой... Можете пояснить первое и второе равенства в вашем вычислении?