Ковектор

[specialist]

Собственно у меня вопрос:
Почему дифференциал скалярной функции называют ковектором или 1-дифференциальной формой то бишь ковариантным тензором валентности 1 , на педивикии https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1 ... 0%BD%D1%82 это скаляр, можете строго пояснить - дифференциал скалярной функции это скаляр или ковектор? (я понимаю что градиент есть ковектор, но почему дифференциал?)

[arseniiv]

А чем дифференциал в конкретной точке отличается от ковектора? У него векторный аргумент, по которому он линеен, и скалярное значение.

[specialist]

arseniiv в сообщении #1106287 писал(а):

А чем дифференциал в конкретной точке отличается от ковектора? У него векторный аргумент, по которому он линеен, и скалярное значение.

дифференциал это число, ковектор это число и направление

[arseniiv]

Дифференциал в данной точке — это число? С какой стати?

[specialist]

arseniiv в сообщении #1106292 писал(а):

Дифференциал в данной точке — это число? С какой стати?

ну дифференциал это спаривание ковектора с вектором, то есть это должно быть тензором нулевой валентности, инвариантом - числом? где ошибка?

[arseniiv]

specialist в сообщении #1106294 писал(а):

ну дифференциал это спаривание ковектора с вектором

С каким-то одним заданным заранее вектором?

-- Вс мар 13, 2016 18:17:55 --

Короче, напишите дифференциал какой-нибудь функции в какой-нибудь точке для примера. Скажем, функции $f(x, y) = x^2 + 3xy$ в $(1, 1)$.

[Munin]

specialist в сообщении #1106294 писал(а):

ну дифференциал это спаривание ковектора с вектором

Есть немного разные терминологии. В одних дифференциалом называют "спаривание ковектора с вектором", в других - тот самый ковектор до спаривания. Спорить тут не о чем, надо просто принять к сведению существование другого взгляда на вещи.

Кроме того, взгляд про ковектор - в чём-то абстрактнее, гибче и совершеннее. (Всеми силами избегал слова "продвинутее".)

[specialist]

$df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}(\mathbf {dx})+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}(\mathbf {dy}) = 5(\mathbf {dx})+ 3(\mathbf {dy})$ в $(1, 1)$
вот так примерно, у меня еще вопрос в современной геометрии фоменко вектор расписывается по базису ковекторов - почему так?

-- 13.03.2016, 17:38 --

Munin в сообщении #1106302 писал(а):

Есть немного разные терминологии. В одних дифференциалом называют "спаривание ковектора с вектором", в других - тот самый ковектор до спаривания. Спорить тут не о чем, надо просто принять к сведению существование другого взгляда на вещи.

Кроме того, взгляд про ковектор - в чём-то абстрактнее, гибче и совершеннее. (Всеми силами избегал слова "продвинутее".)

Что вы имеете виду под взглядом на ковектор? Как математики не узаконили только один взгляд, или скорее из-за чего это расхождение возникло, это же вызывает путаницу с индексами?

[svv]

specialist в сообщении #1106309 писал(а):

$df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}(\mathbf {dx})+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}(\mathbf {dy}) = 5(\mathbf {dx})+ 3(\mathbf {dy})$ в $(1, 1)$

А зачем Вы выделяете здесь полужирным $dx$ и $dy$ ? Даже если это компоненты вектора, они же жирным не обозначаются. Надо так:
$df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}\;dx+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}\;dy$
В соответствии с тем самым продвинутым взглядом, здесь нет ни векторов, ни их компонент, только ковекторы. Именно, здесь разложение ковектора $df$ по базисным ковекторам $dx$ и $dy$.

[specialist]

аа, вон оно как, я выделял дифференциалы так как мне сказали что на многообразиях они являются базисом в котором живет 1-диф. форма. То есть тут градиенты считаются просто числами, и к друг другу отношения не имеют?

[Brukvalub]

specialist, чтобы разговор приобрел смысл, дайте определения понятиям "ковектор", "дифференциал", "градиент".

[specialist]

Brukvalub в сообщении #1106326 писал(а):

specialist, чтобы разговор приобрел смысл, дайте определения понятиям "ковектор", "дифференциал", "градиент".

Не вижу смысла их давать, так как они уже даны, а если вы подразумеваете некий произвол в определениях, то само научное знание строится так чтоб произвола не было, для меня ковектор и градиент это тензоры ковариантные валентности один, дифференциал - всегда считал скаляром так как это спаривание ковектора с вектором, вот теперь мне интересно на каком основании держится "продвинутый взгляд" т.е. почему можно сказать что частная производная это просто коэффициент а не компонента ковектора.

[Munin]

specialist в сообщении #1106309 писал(а):

Что вы имеете виду под взглядом на ковектор?

Не на ковектор, а на дифференциал.

svv в сообщении #1106319 писал(а):

А зачем Вы выделяете здесь полужирным $dx$ и $dy$ ? Даже если это компоненты вектора, они же жирным не обозначаются.

По-дифгеометрически, $dx=d\,x$ - то есть оператор дифференциала $d,$ применённый к скалярной функции $x.$ Скалярная функция есть 0-форма, и в итоге $dx$ - 1-форма. Всё-таки хоть и не вектор, но уж точно не компонент вектора, а инвариантный геометрический объект.

specialist в сообщении #1106323 писал(а):

То есть тут градиенты считаются просто числами, и к друг другу отношения не имеют?

Нет, конечно, они являются "просто" 1-формами, но на них действует такая же алгебра над $\mathbb{R},$ аналогичная алгебре векторов.

[specialist]

если по диффгеометрически $dx=d\,x$ - 1 дифформа, то дифференциал скалярной функции $df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}\;dx+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}\;dy=\Sigma ((\partial {f_i}) dx_i)$ вы это имеете ввиду?

[arseniiv]

Это так в любом случае, только всё-таки не $\partial f_i$, а $\partial_i f$.