Знаки плюс и минус

[miranda55]

Объясните , пожалуйста, откуда знак (плюс или минус ) в каждой формуле гл. 13, §§1-2, т.1 "Фейнмановские лекции по физике" . Напр. на стр. 230 он пишет "Сила в нашем простом примере постоянна, равна --mg и направлена вниз (знак минус именно это и показывает)" . Это проекция на какую-то ось, направленную вверх?

На стр. 236 нет минуса:
$W_{ac}=\int_a^c\mathbf F \cdot d\mathbf s =Fs\cos \theta
На стр. 237 есть минус:
$W=\int_0^x \mathbf F\,d \mathbf x=\int_0^x(-kx)\,dx=-\tfrac{1}{2}kx^2
Ось направлена от защемления пружины; человек оттягивает и пускает груз; сила направлена противоположно оси, перемещение $d\bf x -- тоже, но почему-то сила с минусом, а перемещение -- нет. И почему интегрирование от 0 до x ? -- Ведь начальное положение x , а не 0.
На стр. 235 -- ошибки.
Вообще, издание какого года лучше? Нашла 1965 (Мир), 1976 (Мир), 2011(УРСС). Издание 2011 явно печаталось по 1976 -- одинаковые опечатки. В 1976(2011) часть ошибок исправили , на зато добавили новых. В 1-м англ. издании те же ошибки, что и в 1965 г. Вроде, исправлено всё только на сайте feynmanlectures.caltech.edu .

(Оффтоп)

стр. 1965 >>>> 1976(2011)
61 сокращение мышцы есть превращение ГДФ в ГТФ
75 (фиг. 42, г). После разгрузки машина >>>> (фиг. 42) После разгрузки мы
105 n\sigma >>>> \pi \sigma
108 $ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} >>>> $ \binom{n}{k}\frac{n!}{k!(n-k)!}

171 \dfrac{1.022+0.500}{2}= 0.761 >>>> \dfrac{1.022+0.500}{2}= 1.761
172 (9.18) > (6.18)
202 Договоримся понимать под этим вектор >>>> вектором
207 она равна изменению энергии, прибавке в весе
213 Но ведь это просто уловка >>>> Но это всего лишь уловка.
216 именно из-за сил притяжения между атомами медь >>>> меди
235 \begin{equation*} W_{12}=... -GMm\biggr(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\biggr). \end{equation*} >>>> \begin{equation*} W_{12}=... GMm\biggr(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\biggr). \end{equation*}

237 * Энергия в единицах табл... >>>> Энергия на единицу массы есть... в единицах табл....
238 $&=\mathbf r_{ij}\cdot\frac{\mathbf v_i-\mathbf v_j}{r_{ij}} &=\mathbf r_{ij}\cdot\frac{\mathbf v_i}{r_{ij}}+ \mathbf r_{ji}\cdot\frac{\mathbf v_j}{r_{ji}}, >>>> &=\mathbf r_{ij}\cdot\frac{\mathbf v_i}{r_{ij}}+ \mathbf r_{ij}\cdot\frac{\mathbf v_j}{r_{ji}},

239 как член в уравнении (13.14) >>>> (13.15)
240 dC_x=+ >>>> dC_x=-
242 $\frac{dx}{r}=\frac{dr}{R} >>>> $\frac{dx}{r}=-\frac{dr}{R}

[svv]

miranda55 в сообщении #1105999 писал(а):

Это проекция на какую-то ось, направленную вверх?

Выше есть фиг.13.1, там стрелочкой обозначено, что ось $h$ направлена вверх. А сила тяжести направлена вниз.

miranda55 в сообщении #1105999 писал(а):

$W_{ac}=\int_a^c\mathbf F \cdot d\mathbf s =Fs\cos \theta$

Здесь $W_{ac}$ — работа силы (тяжести) на отрезке $ac$. Первое равенство — просто по определению работы, второе — значение интеграла, в предположении, что вектор силы постоянен, а траектория прямолинейна.

miranda55 в сообщении #1105999 писал(а):

На стр. 237 есть минус:

Этот знак минус полностью согласуется с приведённым выше определением работы. Работа силы упругости пружины на отрезке от $0$ (положение равновесия) до $x$ (любая другая точка) будет всегда отрицательной, потому что сила направлена противоположно перемещению. Можно сослаться и на $\cos\theta$, он здесь равен $-1$.

Самое главное. Знак минус никогда не ставится «чтобы было правильно». Он возникает (или исчезает) при выводе формул естественным образом, как и всё остальное.

[Munin]

miranda55 в сообщении #1105999 писал(а):

Это проекция на какую-то ось, направленную вверх?

Да, эта координата называется $h.$ Без неё нельзя было бы ввести член $mgh.$

miranda55 в сообщении #1105999 писал(а):

На стр. 236 нет минуса:
$W_{ac}=\int_a^c\mathbf F \cdot d\mathbf s =Fs\cos \theta$
На стр. 237 есть минус:
$W=\int_0^x \mathbf F\,d \mathbf x=\int_0^x(-kx)\,dx=-\tfrac{1}{2}kx^2$

Вам надо вернуться к понятию скалярного произведения векторов. Жирным шрифтом обозначены векторы. А потом скалярное произведение записывается через скалярные величины. При этом используется конкретная информация о том, как направлены по отношению друг к другу эти векторы. Иногда будет $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=ab,$ иногда будет $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-ab,$ а иногда будет $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=ab\cos\theta.$

miranda55 в сообщении #1105999 писал(а):

На стр. 235 -- ошибки

Очень часто ученик заявляет, что в учебнике ошибки, но на самом деле это он сам чего-то не понимает до конца.

miranda55 в сообщении #1105999 писал(а):

Вообще, издание какого года лучше?

Практически без разницы.

[miranda55]

Какая вообще последовательность? Сначала записывается интеграл от векторов. Далее векторы заменяются на проекции на произвольно выбранные оси с учетом направлений и знаков . Далее интегрируется. Так? -- Если да, то почему работа = \int_1^2\mathbf F\cdot d\mathbf s=\int_{z_1}^{z_2}-mg\,dz=-mg(z_2-z_1) [стр.232]?
Если тело падает, сила и перемещение сонаправлены , то должно быть:
\int_1^2\mathbf F\cdot d\mathbf s=\int_{z_1}^{z_2}(-mg)\,d(-z)

В одном случае используются оси, в другом -- формула скалярного произведения. Зачем автор так делает?

Munin в сообщении #1106032 писал(а):

Очень часто ученик заявляет, что в учебнике ошибки, но на самом деле это он сам чего-то не понимает до конца.

В разных изданиях там разные формулы( с минусом и без минуса. http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_13.html -- тут убрали минус ).

[svv]

miranda55 в сообщении #1106038 писал(а):

Если тело падает, сила и перемещение сонаправлены , то должно быть:
$\int_1^2\mathbf F\cdot d\mathbf s=\int_{z_1}^{z_2}(-mg)\,d(-z)$

Хоть тело поднимается, хоть опускается, проекция вектора $d\mathbf s$ на ось $z$ всё равно будет $dz$. Откуда Вы берёте $d(-z)$ ?

miranda55 в сообщении #1106038 писал(а):

В одном случае используются оси, в другом -- формула скалярного произведения. Зачем автор так делает?

Уже едва сдерживая слёзы, попробую всё-таки ответить.
Дано скалярное произведение $\mathbf a\cdot \mathbf b$.
Используя «оси», Вы можете записать его через проекции (со знаком) векторов на эти оси:
$\mathbf a\cdot \mathbf b=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z$
Используя «формулу скалярного произведения», Вы можете записать его через модули векторов (неотрицательные) и космнус угла:
$\mathbf a\cdot \mathbf b=a b \cos \theta$
В зависимости от того, какая форма удобнее для получения дальнейших выводов.

Попробуйте, кстати, доказать, что $a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z=a b \cos \theta$.

-- Сб мар 12, 2016 18:52:39 --

miranda55 в сообщении #1105999 писал(а):

И почему интегрирование от 0 до x ? -- Ведь начальное положение x , а не 0.

Нет, $0$. Возможно, Вас сбило с толку выражение «восстанавливающая сила».

[miranda55]

svv в сообщении #1106047 писал(а):

Хоть тело поднимается, хоть опускается, проекция вектора $d\mathbf s$ на ось $z$ всё равно будет $dz$. Откуда Вы берёте $d(-z)$ ?

$d\mathbf s -- вектор. Значит, при переходе к проекциям нужно вписывать $dz , если ось и вектор одинаково направлены, и $-dz -- если нет. Для силы он использует проекцию $-mg. Или он для силы направил ось в одну сторону , а для перемещения -- в другую?

Цитата:

Попробуйте, кстати, доказать, что $a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z=a b \cos \theta$.

Теорема косинусов:
$a^2+b^2-c^2=2 a b \cos \theta;
$a_x^2+a_y^2+a_z^2+b_x^2+b_y^2+b_z^2-(a_x-b_x)^2-(a_y-b_y)^2-(a_z-b_z)^2 = 2 a b \cos \theta;
$a_x^2+a_y^2+a_z^2+b_x^2+b_y^2+b_z^2-(a_x^2+b_x^2-2a_xb_x)-(a_y^2+b_y^2-2a_yb_y)-(a_z^2+b_z^2-2a_zb_z) = 2 a b \cos \theta.

[svv]

miranda55 в сообщении #1106102 писал(а):

Значит, при переходе к проекциям нужно вписывать $dz$ , если ось и вектор одинаково направлены, и $-dz$ -- если нет.

Но почему? Ведь $dz$ может быть как положительным, так и отрицательным (и даже нулевым). Знак $dz$ (не знак перед $dz$, а знак самого $dz$!) и зависит от того, одинаково ли направлены ось и вектор, или нет.
(И как поступать, если Вы заранее не знаете, одинаково они направлены или нет?)

Похоже, вот в чём корень проблемы: Вы считаете, что знак минус делает величину отрицательной, а его отсутствие означает, что величина положительная. На самом деле величина $a$ и без минуса перед ней может быть отрицательной, тогда $-a$ будет положительной.

Отрицательные числа введены так, чтобы не нарушались привычные аксиомы, вроде $a(b+c)=ab+ac$, и, таким образом, бОльшую часть действий можно было бы выполнять, не задумываясь о знаках. Во множестве вычислений знак участвующих в них величин попросту неизвестен, но это ничему не мешает. Это большое преимущество математики нового времени по сравнению со средневековой. Вы же это преимущество перечёркиваете.

[miranda55]

svv в сообщении #1106116 писал(а):

Вы считаете, что знак минус делает величину отрицательной, а его отсутствие означает, что величина положительная.

Нет. Я знаю, что внутри переменной может быть вещ. число. В той теме человек упоминал , что в задачах по статике силы на чертеже направляют как угодно, и отрицательное число в ответе означает противоположное направление силы. Но чтобы получить правильное число в ответе, он должен в уравнение вписать проекции с правильным знаком (а проекции -- это переменные). Вы говорите, что мы не знаем направление изначально. Но тогда почему сила $-mg? Или это он как бы "число" подставляет?
Фейнман написал выражение из переменных, не из чисел. В половине переменных минус, отвечающий за направление, стоит снаружи, в другой половине переменных минус скрыт внутри переменной. Как такое понять? Здесь речь еще не идет о минусе подставляемого числа.

[miranda55]

Что вообще надо делать для нахождения работы? Напр. вот чертеж:
https://ia601503.us.archive.org/0/items ... 090000.PNG
Где будет точка 2 на прямой $s, не известно. Направления силы и перемещения не известны, известны только прямые, вдоль которых они направлены. Располагаем произвольно ось $x, направляем наугад перемещение и силу. Получаем следующее выражение работы:
$ W=\int\limits_{1}^{2} \mathbf F d \mathbf s = \int\limits_{x_1}^{x_2} F\cos(\alpha) (-dx)\cos(\beta) = -F\cos(\alpha)\cos(\beta) \int\limits_{x_1}^{x_2} dx = -F\cos(\alpha)\cos(\beta)(x_2 - x_1)
Теперь, если оказывается , что $x_2 > x_1; F>0 ; \alpha , \beta\in (0, \pi/2) , -- ответ будет отрицательный. Это означает, что либо силу, либо перемещение надо было направить в другую сторону. Правильно?
______
Также есть понятия "работа силы" и "работа против силы", которые еще более запутывают.

[arseniiv]

Работа может быть отрицательной, но в данном случае можно найти только её модуль.

[svv]

miranda55 в сообщении #1106160 писал(а):

В половине переменных минус, отвечающий за направление, стоит снаружи, в другой половине переменных минус скрыт внутри переменной.

Разумеется, все хотят не слишком много «минусов» в формулах. Знак величины (как числа) и знак при ней в выражении зависят от её определения. Определение — начало начал. Так почему не выбрать такие определения, чтобы было поменьше минусов? Мы и пытаемся. Но:
1) При любом определении эта же физическая величина в другой ситуации может стать отрицательной.
2) При любом определении эта физическая величина может войти со знаком минус в выражение для другой величины.

Итак, начинаем с выяснения использованных определений. (Да, они могут отличаться знаком не только у разных авторов, но и у одного и того же, в разных вычислениях.)

Что такое $dz$ ? Если отвлечься от «бесконечно-малости», то же, что и $\Delta z$. Дельта — это разница между конечным и начальным значением величины. Пусть тело переместилось из точки 1 с координатой $z_1$ в точку 2 с координатой $z_2$. Тогда по определению $\Delta z = z_2-z_1$. Если ось $z$ направлена вверх и $z_2>z_1$ (тело поднимается), то $\Delta z>0$. Если $z_2<z_1$ (тело опускается), то $\Delta z<0$. Изменение потенциальной энергии при перемещении в поле тяжести будет $\Delta U=m\cdot 9.8\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\Delta z$, независимо от знака $\Delta z$. А вот работа силы тяжести при перемещении тела будет $A=-m\cdot 9.8\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\Delta z$, тоже независимо от знака $\Delta z$. Иными словами, знак изменения потенциальной энергии тот же, что знак изменения высоты (оба могут быть положительные и отрицательные). А знак работы противоположен знаку изменения высоты.

Что такое $g$? Это абсолютная величина ускорения свободного падения, и потому положительное число. Можно было бы считать, что $g$ — это проекция вектора $\mathbf g$ на ось $z$, тогда бы оно было отрицательным. Это принесло бы в каких-то случаях выгоды, в других неудобства. Для нас важно только то, что Фейнман так не делает.

[Walker_XXI]

miranda55 в сообщении #1106160 писал(а):

В половине переменных минус, отвечающий за направление, стоит снаружи, в другой половине переменных минус скрыт внутри переменной. Как такое понять? Здесь речь еще не идет о минусе подставляемого числа.

Может Вам поможет ещё такое пояснение. Конкретно в этой задаче сила $\mathbf{F}$ и её направление не зависят от начальной и конечной точек перемещения. Поэтому мы ещё под интегралом заменяем её проекцией, указав знак минус. Направление перемещения $\mathbf{s}$ заранее неизвестно и зависит от начальной и конечной точек. Поэтому мы выбираем для проекции этого вектора положительное направление. А знак минус (в нашей задаче перемещение будет всё таки вниз) возникает автоматически после подстановки пределов интегрирования: координата конечной точки $z_2$ меньше координаты начальной точки $z_1$ и потому разность $(z_2-z_1)$ будет отрицательной, а работа силы тяжести в итоге получится положительной. Это вполне согласуется с тем, что направление силы и перемещения совпадают.

[miranda55]

На стр. 241-242 Фейнман пропускает минус при замете $dx. http://www.feynmanlectures.caltech.edu/ ... qn-EqI1318 -- здесь исправлено , но интегрирование идет от $R+a до $R-a. Почему? Разве мы всегда не интегрируем от меньшего до большего?

[arseniiv]

Это приятное дополнение к формуле $\int\limits_a^b + \int\limits_b^c = \int\limits_a^c$ — удобно, чтобы $a,b,c$ могли принимать любые значения. Получается $\int\limits_a^b f(x)\,dx = -\int\limits_b^a f(x)\,dx$.

[miranda55]

arseniiv в сообщении #1106950 писал(а):

Это приятное дополнение к формуле $\int\limits_a^b + \int\limits_b^c = \int\limits_a^c$ — удобно, чтобы $a,b,c$ могли принимать любые значения. Получается $\int\limits_a^b f(x)\,dx = -\int\limits_b^a f(x)\,dx$.

В том-то и дело , что подгоняя ответ с минусом, админы сайта безосновательно переставили пределы интегрирования (в книге Фейнман вышел на нужный ответ, безосновательно опустив минус при замене $dx). Вот я и спрашиваю, какие пределы правильные и почему.