x^x · y^y = z^z

[ИСН]

Буду краток.

$$x^x\cdot y^y=z^z$$

Есть ли нетривиальные (т.е. с $x,y,z>1$) решения в натуральных числах?

[Dmitriy40]

Если и есть, то в сильно больших числах, при $x,y<100$ вроде бы решений нет.

[ИСН]

Хе, это-то я первым делом проверил.

[Лукомор]

ИСН в сообщении #1105841 писал(а):

Есть ли нетривиальные (т.е. с $x,y,z>1$) решения в натуральных числах?

Если гипотеза Била верна, то, для попарно простых, - нет, если не верна, - то одно из двух...
А Вы уверены, что это - олимпиадная задача?!

[ИСН]

А какая же ещё?

[scwec]

Chao Ko нашел бесконечное число решений этого уравнения. Об этом сообщил R.K. Guy в "Unsolved problems in Number Theory" в п.D13.
Три из них он привел:
$x=12^6,y=6^8,z=2^{11}{3^7}$
$x=224^{14},y=112^{16},z=2^{68}{7^{15}}$
$x=61440^{30},y=30720^{32},z=2^{357}{15^{31}}$
Все ли решения найдены - неизвестно. Хотя книга 2004 года.
Может быть, ситуация изменилась.

[ИСН]

Некисло. Я знал только первое.
Upd. Задача мне понравилась прежде всего тем, что на некоторых стадиях размышления может показаться почти очевидным отсутствие решений. "Ну вот ведь, уже почти, вот так и так, и ещё чуточку." ЩАЗ.

[Dmitriy40]

scwec в сообщении #1105858 писал(а):

Chao Ko нашел бесконечное число решений этого уравнения. Об этом сообщил R.K. Guy в "Unsolved problems in Number Theory" в п.D13.
Три из них он привел:
$x=12^6,y=6^8,z=2^{11}{3^7}$

ИСН в сообщении #1105859 писал(а):

Некисло.

А является ли это решение минимальным? Нет сведений? Мне просто интересно. Хорошая прививка от наивного перебора.