Подсказка Ферма.Доказательство част.случая ВТФ:соседние кубы

[Lia]

Yarkin
Предупреждение за бессмысленные и безграмотные комментарии.

Вообще, честно предупреждаю - у меня запас терпения кончается.

[PhisicBGA]

Извините за молчание-на этой неделе я опять после обеда "вне зоны доступа".Такая работа...
Помните у Есенина:

"Не знали вы,
Что я в сплошном дыму,
В развороченном бурей быте
С того и мучаюсь, что не пойму —
Куда несет нас рок событий."

Отсюда-пустая игра с сомножителями ,громоздкие формулы - приводящие опять к неопределённости.Постоянная внутренняя напряженная работа мысли. И вдруг-бац!-вспышка!Детали ещё размыты,но главная мысль уже схвачена!Хочется быстрее поделиться, а тут ещё дефицит времени.Вот и понаделал глупых ошибок.Сейчас постараюсь всё исправить.
Вернёмся опять на исходные позиции .Пусть сумма кубов двух соседних целых чисел$(a+1)$ и $ a $ будет равна кубу некоторого целого нечётного числа $(2c+1)$ т.е.

$$(a+1)^3 + a^3 = (2c+1)^3 . (1)$$

Вычтем из обеих частей этого равенства величину $(2a+1)$ и умножим затем на константу $B=4$.Получим:

$$4[(a+1)^3 + a^3 - (2a+1)]= 4(2c+1)^3 - 4(2a+1) . (1)$$

Прибавим к обеим частям равенства величину $2a + 1$.Получим

$$4[(a+1)^3 + a^3 - (2a+1)] +2a +1= 4(2c+1)^3 - 3(2a+1) . (1)$$

Правая часть полученного равенства есть $(2a+1)^3$.Получается :

$$(2a+1)^3 = 4(2c+1)^3 - 3(2a+1) . (2)$$

Представим $(2a+1)^3 = (2a+2)^3 - 3(2a+1)(2a+2) . (2)$
Подставим в (2)

$$(2a+2)^3 - 3(2a+1)(2a+2)= 4(2c+1)^3 - 3(2a+1) . (2)$$

Или

$$(2a+2)^3 = 4(2c+1)^3+ 3(2a+1)(2a+2) - 3(2a+1) . (2)$$

После преобразований получаем

$$8(a+1)^3 = 4(2c+1)^3+ 3(2a+1)^2 . (3)$$

Видно,что это равенство для целых чисел не выполняется.

Давайте по другому.
Представим $(2a+1)^3 = (2a)^3 + 3(2a+1)(2a) $, а $(2c+1)^3 = (2c)^3 + 3(2c+1)(2c) $,
Подставим в (2)

$$(2a)^3 + 3(2a)(2a+1)= 4(2c)^3 +3(2c)(2c+1) - 3(2a+1) . (2)$$

После преобразований получаем:

$$(2a)^3 = 4(2c)^3 +3[4(2c)(2c+1) - (2a+1)^3] . (2)$$

Поскольку $ 2c>a $, то $(4c)(4c+2)>(2a+1)^2$.Следовательно
разность $R =3[4(2c)(2c+1) - (2a+1)^3] >0 $ Получаем

$$(2a)^3 = 4(2c)^3 +R . (4)$$

Об этом я и хотел вчера сказать.
Следовательно наше исходное предположение не верно.Теперь - проверяйте.

[alexo2]

PhisicBGA в сообщении #1103320 писал(а):

Теперь - проверяйте.

А, может, Вы все-таки сами сначала будете проверять? А то с таким количеством "опечаток" (как Вы сами скромно их назвали), желающих проверять все меньше и меньше...

(Оффтоп)

и это.. можно стихи писать хотя бы в офф-е?

[PhisicBGA]

alexo2
писал(а):

А, может, Вы все-таки сами сначала будете проверять? А то с таким количеством "опечаток" (как Вы сами скромно их назвали), желающих проверять все меньше и меньше...

Да,Уважаемый alexo2,конечно прав:вопиющая невнимательность и поспешность.Так нельзя.Беру time out ,что бы "собраться в кучу""

[krestovski]

И ещё один вопрос.
Вот в этом месте:

PhisicBGA в сообщении #1103320 писал(а):

Пусть сумма кубов двух соседних целых чисел$(a+1)$ и $ a $ будет равна кубу некоторого целого нечётного числа $(2c+1)$

- Вы принимаете за нечётное число $(2c+1)$.
По какой причине именно $(2c+1)$, а не $(c+1)$? - Из каких соображений Вы вводите числовой коэффициент при переменной $c$? Можете объяснить Вашу логику?

[PhisicBGA]

krestovski писал(а):

- Вы принимаете за нечётное число $(2c+1)$.
По какой причине именно $(2c+1)$, а не $(c+1)$?

Числа $a+1$ и $a$ заведомо разной чётности.Их сумма - обязательно нечётное число.
Число $c+1$может быть , как четным - при нечётном $c$, так и нечётным - при чётном $c$.
Число $2c+1$может быть только нечётным при любом $c$.

[krestovski]

Вы это серьёзно?
Так вы же предварительно задали условие чётности своим равенством

PhisicBGA в сообщении #1103320 писал(а):

Пусть сумма кубов двух соседних целых чисел$(a+1)$ и $ a $ будет равна кубу некоторого целого нечётного числа $(2c+1)$ т.е.

$$(a+1)^3 + a^3 = (2c+1)^3 . (1)$$

Так что, если в правой части равенства под скобками нечётное число, то и $2c$ в $(2c+1)$, и $c$ в $(c+1)$ всегда чётное. - Его определяет левая часть равенства. При любой чётности $a$ в левой части, в правой - нечётное число, которое если уменьшить на единицу, то получим чётное.
Или эта двойка Вам как-то помогает в дальнейших расчётах? Ведь при переменной $a$ её нет...

Вопрос остался: для чего введён числовой коэффициент только при переменной $c$?

[PhisicBGA]

krestovski писал(а):

Или эта двойка Вам как-то помогает в дальнейших расчётах?

Эта двойка помогает прежде всего не запутаться при дальнейших выкладках,когда вместо $(a+1)^3 + a^3 $
остаётся после подстановки только $(2c+1)^3 $.Если будет $(c+1)^3 $ то всё время нужно помнить , что число $ c $ - чётное.Да и если оно чётное,то я с полным правом могу
его представить как $ c = 2d $.Это всего лишь обозначение для удобства изложения и и его прочтения.

[krestovski]

Вот если бы Вы рассматривали строгие пары $a$ и $(a+1)$, где меньшее всегда чётное, то можно было бы записать следующее равенство: $(2a)^3+(2a+1)^3=(2c+1)^3$, и тогда вопросов по числовому коэффициенту не было бы.
А поскольку Вы ответили так, как ответили, то, следовательно, Вы представления не имеете о чередовании чётности $c$ в Вашем нечётном $(2c+1)$.
Вы ведёте поиск наугад и по этой причине я не увидел логики с самого начала вашего рассуждения.
Вопрос снимаю.

[krestovski]

Снятие вопроса вовсе не означает отказ от диалога.
Вопрос о соседних кубах поднят и на него нужно получить ответ. Но лично я очень сомневаюсь, что рассматривая различные комбинации уравнивания суммы двух соседних кубов с заведомо не равным этой сумме третьим кубом, можно получить вразумительный ответ.
В другой вашей теме, да и здесь тоже, я говорил о логике. Что я подразумевал? – Систематизировать ваши мысли в первую очередь, а потом совершать действия.
Постараюсь продемонстрировать это на примере. А вы, если есть желание, следом попробуете сами ответить на вопрос о сумме двух соседних кубов.
Начнём.
Равенство Ферма содержит три переменных. – Подразумеваем кубическое равенство в натуральных числах: $x^3+y^3=z^3$.
По условию $x+1=y$. Понятно, что $x<y<z$ и $x^3<y^3<z^3$ .
Но для анализа кубического равенства у нас недостаточно начальной информации.
Вот смотрите. – Мы располагаем двумя соседними кубами $x^3$ и $y^3$. И мы имеем возможность представить эту сумму в одной переменной. - Сделать подстановку и рассмотреть два варианта:

1. Когда меньший куб нечётный.
2. Когда меньший куб чётный.

Всё. Вариантов больше нет. Этого явно недостаточно. – В обоих случаях мы оперируем удвоением меньшего куба плюс разность этих кубов. Мы не выходим за границы двух соседних кубов.
Выражусь в привычных вам физических терминах, - это статика, а нам же нужна динамика.
Следовательно, мы должны восполнить данный пробел.
Что можно предпринять?
Можно рассмотреть не два, а три последовательных куба. Пусть это будут $A$, $B$ и $C$, где $A<B<C$.
Если мы установим правило соотношения этих трёх последовательных кубов, то мы уже сможем оперировать следующими вариантами:

1. При чётном $B$ и нечётных $A$ и $C$ варианты соотношений:

1.1. $A$ и $B$ к большему нечётному $C$.
1.2. Нечётных $A$ и $C$ к чётному $B$.
1.3. $B$ и $C$ к меньшему нечётному $A$.
1.4. Чётного $B$, как среднего арифметического двух соседних нечётных $A$ и $C$.

2. При нечётном $B$ и чётных $A$ и $C$ варианты соотношений:

2.1. $A$ и $B$ к большему чётному $C$.
2.2. Чётных $A$ и $C$ к нечётному $B$.
2.3. $B$ и $C$ к меньшему чётному $A$.
2.4. Нечётного $B$, как среднего арифметического двух соседних чётных $A$ и $C$.

И это ещё не всё. Теперь мы также можем варьировать подстановками и рассматривать различные варианты, зная, что основания трёх кубов представлены последовательными натуральными числами.

Как достичь перечисленных «степеней свободы»?
Оптимальный вариант, который может это всё обеспечить, это представить средний куб как среднее арифметическое двух соседних кубов. Ведь не важно какая это прогрессия, - арифметическая, геометрическая или ещё какая, - это прогрессия и мы можем выразить член ряда через два его соседних члена.
И такая формула есть.

При $n=3$, $b^3 = ((b-1)^3 +(b+1)^3 - b3!)/2$ или

$2b^3 = ((b-1)^3 +(b+1)^3 - b3!)$.

Вот об этом я вам говорю. – Сначала определиться с тем, что делать и как. Обеспечить начальный базис информации. Чтобы не хвататься за первое, что на ум придёт.
И заметьте, что сейчас мы говорим о кубах, основания которых отличатся на единицу. А если на 2? На 3? На произвольное $m$?
Не всё так просто, чтобы решать эту задачку с наскока.
Что скажете? Ваше мнение?

[vasili]

Представим $(2a+1)^3 = (2a+2)^3 - 3(2a+1)(2a+2) . (2)$

Уважаемый Phisic BGA! У вас левая часть равенства (2) нечетная, а правая часть равенства (2) четная.

[PhisicBGA]

krestovski писал(а):

Снятие вопроса вовсе не означает отказ от диалога.
Вопрос о соседних кубах поднят и на него нужно получить ответ. Но лично я очень сомневаюсь, что рассматривая различные комбинации уравнивания суммы двух соседних кубов с заведомо не равным этой сумме третьим кубом, можно получить вразумительный ответ..... Что скажете? Ваше мнение?

Ваше предложение очень интересное и я его конечно приму.Заранее прошу извинения за возможные задержки с ответом из за нехватки свободного времени.Спасибо за развёрнутое изложение Вашего варианта этого вопроса.С моей стороны тоже уже есть готовый вариант на который мне никто не дал окончательный ответ после того как этот вариант появился уже в окончательном виде.Это доказательство для разности соседних кубов,которое приведено в этой теме.Основные идеи и алгоритм этого доказательства лежат и в основе доказательства для суммы соседних кубов.В новой теме (с которой я признаюсь неоправданно поторопился ) я не довёл до конца тот алгоритм доказательства,который доведён до конца в доказательстве теоремы для разности соседних кубов.А он будет тот же самый и для суммы.У меня предложение к Вам - проанализировать этот случай. Мне тогда будет более ясна сложившаяся ситуация.

[PhisicBGA]

Я продублирую это доказательство разности соседних кубов,что бы удобнее было его анализировать

Рассмотрим куб нечётного числа $x^3=(2a+1)^3.$ Предположим,что создающее его приращение $6<2a>+1= (2c +1)^3$,где $ c <a $-целые числа. Тогда константа B для единичного приращения будет иметь вид:

$$ B = \frac{6<2a> +1- (2a+1)}{(a+1)^3 - a^3 - (2a+1)} = \frac{(2c+1)^3- (2a+1)}{(a+1)^3 - a^3 - (2a+1)}= 4 .(1) $$

Пусть $ a = c + n $, где $n <a $- целое число
Тогда

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)-2n}{(c+1+n)^3-(c+n)^3 - (2c+1)- 2n}= 4 /(2)$$

Рассмотрим по отдельности:

$$(c+1+n)^3 = (c+1)^3 + 3n(c+1)^2 + 3n^2(c+1) + n^3$$

$$(c+n)^3 = (c)^3 + 3n(c)^2 + 3n^2(c) + n^3$$

Вычтем из первого второе и получим:

$$(c+1+n)^3 - (c+n)^3= (c+1)^3 - c^3 + 3n(2c+1) + 3n^2 $$

Подставим в уравнение (2)

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)-2n}{(c+1)^3-c^3 + 3n[(2c+1)] +3n^2- (2c+1)-2n } =4 .(2)$$

Умножим обе части уравнения (2) на знаменатель и сделаем преобразования, получим:

$$(2c+1)^3 - (2c +1) = 4[(c+1)^3 - c^3] + 4[3n(2c+1)] +(4)(3)n^2 +4(2c+1)-(12/2)(n)$$

В правой части вынесем 4 и вернёмся к прежнему виду,но уже с обновлённым знаменателем и числителем:

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)}{(c+1)^3-c^3 + 3n[(2c+1)] +3n^2- (2c+1)-3/2(n) } =4 .(2)$$

Однако справедливо и следующее равенство

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)}{(c+1)^3+c^3 - (2c+1) } =4 $$

Значит мы можем приравнять

$$ (c+1)^3-c^3 + 3n[(2c+1)] +3n^2 - (2c+1) -(3/2)n = (c+1)^3+c^3 - (2c+1) $$

Отсюда получаем

$$ 2c^3 = 3n[(2c+1)] +3n^2 - (3/2)n .(3) $$

Умножим обе части равенства (3) на 2 :

$$ 4c^3 = 6n[(2c+1)] +6n^2 - 3n = 12nc +6n + 6n^2 -3n = 12nc + 6n^2 +3n .(3) $$

Преобразуем равенство (3) и получим:

$$ 4c(c^2-3n)= 3n(2c+1) .(3) $$

или

$$ \frac{4c}{3n} =\frac{2n+1}{3c^2- 3n} .(3) $$

Вспомним,что $ a = c + n $, где $n <a $- целые числа.Следовательно при каждом фиксированном значении $a$ значения $n$ и $c$ увеличиваются и уменьшаются в противофазе.Следовательно равенство (3) возможно лишь в единственном случае:

$$ 4c = 2n +1 $$

и

$$ 3n= c^2 - 3n $$

Из первого уравнения получаем

$$n =(4c-1)/2$$

. Подставляем во второе и получаем квадратное уравнение:

$$ c^2 - 12 c + 3 =0$$

Его дискриминант равен $D = 144 - 12 = 132 $ .Следовательно целых решений это уравнение не имеет.

[krestovski]

Вы мне предлагаете проверить расчёт, который мне сразу напомнил выражение Фейнмана про дифуравнение Шрёдингера: А его просто надо покрутить то так, то эдак… - Ну типа, может быть, что и получится.
Хотя, если откровенно, при виде таких расчётов возникает первая мысль: Да тут уже не Бритва Оккама нужна, а Гильотина Оккама! – Но вот честно, - я сам не люблю её, эту бритву.
Ладно, это всё лирика.
Как я вижу, Вы сами в конце концов не поняли, что Вы тут насчитали, в этом доказательстве. Но то количество подстановок и преобразований, что Вы использовали, увело вас от разности соседних кубов. Но об этом отдельно. Это сейчас не так важно.
В вашем расчёте меня заинтересовало вот это соотношение

PhisicBGA в сообщении #1107101 писал(а):

Однако справедливо и следующее равенство

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)}{(c+1)^3+c^3 - (2c+1) } =4 $$

Ещё тогда заинтересовало, как я появился с первым вопросом. Ну очень знакомого вида соотношение было. Я порылся в своих записях и нашёл. Это частный случай одной общей закономерности, которая существует в ряду кубов натуральных чисел.
Я возьму тайм-аут и подготовлю развётнутый ответ, чтобы Вы увидели, на что Вы совершенно случайно натолкнулись. Это действительно красивая закономерность. И, с Вашего позволения, я помещу материал в этой теме. Там действительно участвуют и соседние кубы. Но Вы сами увидите, что ваше доказательство не имеет отношения к соседним кубам. А сам материал может быть натолкнёт Вас на новые мысли и идеи.
С уважением.

[vasili]

Представим $(2a+1)^3 = (2a+2)^3 - 3(2a+1)(2a+2) . (2)$

Уважаемый Phisic BGA! С этого "Представления" - (2) начинается нелепость.