Как проинтерпретировать "копмлексные" пределы?

[STilda]

День добрый.
Предел $(f(x-x_0)-f(x_0))*(x-x_0)^{-1}$ есть производная. Известным образом связана с касательной и тому подобным.
Как проинтерпретировать пределы $(f(x-x_0)-f(x_0))*(x-x_0)^i$, $(f(x-x_0)-f(x_0))^{i+1}*(x-x_0)^{i-1}$, ... ?
$i$ есть комплексная единица.
$f$ есть действительная (может и комплексная) функция действительного (может и комплексного) аргумента.

[незваный гость]

Для начала, давайте рассмотрим что нибудь простое, скажем, $x,x_0 \in {\mathbb R}, x > x_0$. Имеем $(x-x_0)^i = $ $ e^{i \ln(x-x_0)}$. То есть, при $x \to x_0$ справа, мы умножаем $f(x)-f(x_0)$ на бешенно вращающуюся единичную по модулю величину. И предел равен 0 для непрерывной функции.

Остальное разбирается аналогично. С той разницей, что логарифм перестаёт быть однозначно определён, а значит, и у выражения ещё меньше смысла.

[AD]

Может, поразбираетесь лучше с известными обобщенными производными? Симметричная, Сильная, Шварцевская, Римановская*, Пеановская, Чезаровская, Борелевская, плюс все вышеперечисленные с эпитетом "Аппроксимативная", и любого порядка, и это только для функций из $\mathbb R$ в $\mathbb R$

Добавлено спустя 3 минуты 13 секунд:

Скажем, симметричная производная первого порядка:

$$\mathcal{D}^1f(x)=\lim_{\Delta x\to0}\tfrac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}$$

.
Для функции $f(x)=1/x^2$ получается $\mathcal{D}^1f(0)=0$.
Действительно, эта точка напоминает максимум

[STilda]

AD, они все строятся одинаково. поэтому мне не зачем их изучать, тем более половину из них нам рассказывали когда-то )). Одинаковость в том, что объекты строятся использую понятия двух взаимообратных по сложению и по умножению. больше ничего нет. скудность по правилам построения. я же дал формулу другую по построению. как видим, интерпретация сразу затруднилась.
вот еще:
$\lim_{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{(f(x+\Delta x+i \Delta y)-f(x))^{+1}(\Delta x)^{-1}(\Delta y)^i}$

[Someone]

STilda писал(а):

я же дал формулу другую по построению. как видим, интерпретация сразу затруднилась

А нельзя ли предъявить примеры того, что Ваши выдумки дают нечто нетривиальное? Например, что получится для функции $f(x)=x$?

[STilda]

Someone писал(а):

А нельзя ли предъявить примеры того, что Ваши выдумки дают нечто нетривиальное? Например, что получится для функции $f(x)=x$?

Пока что мои выдумки не продуманы дальше . Для этой функции предел не определен. Выдумаю функцию, для которой есть предел - скажу.

[Someone]

То есть, предмета для обсуждения пока нет.