Многозначное отображение, полунепрерывность.

[Blendamed]

Здравствуйте, помогите решить следующую задачу:

Пусть $X$ -- метрическое пространство. При каких условиях на функцию $f: X \rightarrow \Bbb{R}$ многозначное отображение $F: X \Rightarrow \Bbb{R}^{2},$ $F(x)=\{(y_1,y_2) \in \Bbb{R}^2 | y_1y_2 = f(x)\}$, будет полунепрерывно сверху?
То есть нужно понять, какая $f$ -- полунепрерывная сверху/снизу или еще что-то.

[DeBill]

Ну, видимо, в тех точках, где $f >0$, нужна полунепрерывность сверху, а там, где $f<0$ - снизу. Зато там, где она равна 0, нужна непрерывность...

[Someone]

Если у Вас определение полунепрерывности сверху и снизу такое же, как у Р. Энгелькинга (Общая топология. Москва, "Мир", 1986. Пункт 1.7.17.), то докажите такую лемму: отображение $f\colon X\xrightarrow{\text{на}}Y$ на $T_1$-пространство $Y$ замкнуто (соответственно, открыто) тогда и только тогда, когда многозначное отображение $F\colon Y\to X$, определённое формулой $Fy=f^{-1}y$ для всех $y\in Y$, является полунепрерывным сверху (соответственно, снизу). И вообще посмотрите, что там есть у Энгелькинга по этому поводу.