"Площадь" гиперповерхности

[Andreiandreev]

В книге "Теория поля" Ландау, Лифшица, в § 6 "Четырехмерные векторы" вводится 4-вектор $dS^i$.
При этом

$$dS^0=dS^{123},\,\,\,dS^1=dS^{023}, ...$$

Геометрически $dS^i$ - 4-вектор, по величине равный "площади" элемента гиперповерхности и по направлению нормальный к этому элементу. В частности, $dS^0=dx\,dy\,dz$, т.е. представляет собой элемент трехмерного объема $dV$ - проекцию элемента гиперповерхности на гиперплоскость $x^0=\operatorname{const}$.
Известно, что 3-мерный элемент объема сферы $V$ равен

$$dS^0=dV=4\pi r^2dr$$

где $4\pi r^2$ - площадь поверхности сферы, $r$ - радиус 3-сферы и пробегает значения от $0$ до $r$.
Вопрос: можно ли и остальные компоненты 4-вектора $dS^i$ выразить в аналогичном виде (через аналог радиуса $r$). Если да, то где это можно посмотреть? Он будет иметь такую же форму и с коэффициентом $4\pi$?

[svv]

Когда Вы говорите об объеме сферы, Вы в качестве гиперповерхности выбираете шар (ну, или его сферический слой), как часть гиперповерхности $x^0=\operatorname{const}$? Но тогда остальные компоненты $dS^i$ равны нулю. Очевидно, Вы рассматриваете какую-то другую гиперповерхность, задайте её явно.

[Утундрий]

У ЛЛ чётко написано что подразумевается простое произведение дифференциалов. Правда сейчас набигут математики и скажут, что не простое, не произведение и не дифференциалов... но это не отменит тот факт, что никаких четырёх пи и прочих эр-квадратов там быть не может.

[Andreiandreev]

Спасибо. Я просто подумал, что если бы это было только еще одно дополнительное (4-е измерение пространства), то так оно и было бы, как я предположил, исходя из равноправия измерений пространства. Но в псевдоэвклидовом пространстве такого равноправия нет. Значит и формулы будут, видимо, разными.

[Munin]

Нет, увы, вы не поняли ответов.