Сумма стационарных в узком смысле процессов.

[2serg2]

Добрый день,
у меня такой вопрос: как доказать, что сумма стационарных и независимых случайных процессов стационарна.
$Z(t) = X(t) + Y(t) \Rightarrow MZ(t) = MX(t) + MY(t) = \operatorname{const}$
$R_Z(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2) + R_Y(t_1,t_2) = R_Z(t_2-t_2)$ - это все тривиально и получается простой подставновкой. Но как проверить стационарность в узком смысле?

Необходимо рассмотреть $F_Z(u_1,t_1;....;u_n,t_n) = P\{X(t_1)+Y(t_1) < u_1;....;X(t_n)+Y(t_n) < u_n\}$. Вот что дальше сделать? Можно, конечно, расписать эту вероятность через совместную плотность, воспользоваться независимостью и показать, что при сдвиге во времени интеграл не изменится, но можно это сделать как-нибудь по-элегантнее?

[--mS--]

Вполне достаточно того, что для любых $n$ и любых $t_1,\ldots, t_n$ распределение вектора $(X(t_1)+Y(t_1),\ldots,X(t_n)+Y(t_n))$ полностью определяется распределением вектора $(X(t_1),\ldots,X(t_n),Y(t_1),\ldots,Y(t_n))$, а последнее есть произведение распределений $(X(t_1),\ldots,X(t_n))$ и $(Y(t_1),\ldots,Y(t_n))$. Это произведение совпадает для любого $\tau$ с произведением распределений векторов $(X(t_1+\tau),\ldots,X(t_n+\tau))$ и $(Y(t_1+\tau),\ldots,Y(t_n+\tau))$, т.е. с распределением вектора $(X(t_1+\tau),\ldots,X(t_n+\tau), Y(t_1+\tau),\ldots,Y(t_n+\tau))$.

Поэтому у вектора $(X(t_1+\tau)+Y(t_1+\tau),\ldots,X(t_n+\tau)+Y(t_n+\tau))$ такое же распределение, как у "несдвинутого" вектора.

Но тут под словом "полностью" и спрятался интеграл