Amigo писал(а):
маткиб писал(а):
А что за учебник? Автор кто?
посмотрите здесь -
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=110482#110482Честно говоря, я бы очень осторожно относился к научно-популярной литературе, и не стал бы по ней изучать мат. логику. Но это твой выбор!
Amigo писал(а):
У меня к Вам два вопроса:
1. Вы можете дать чёткое, исчерпывающее определении формальной теории и аксиомотаческой теории?
Обычно под формальной теорией (или, что одно и то же, формальной аксиоматической теорией, или просто аксиоматической теорией) понимают совокупность, включающую в себя: 1) алфавит символов (конечный или счетный);
2) алгоритм, который проверяет, является ли строка символов x формулой теории (т.е. алгоритм, задающий язык теории);
3) алгоритм, который проверяет, является ли строка символов x аксиомой теории;
4) алгоритм, который проверяет, можно ли непосредственно вывести (за один шаг) строку символов y из строк x1, x2, ... xn (т.е. алгоритм, который задает правила вывода).
Что такое "теория вообще", я затруднюсь ответить. Это уже ближе к философии.
Amigo писал(а):
маткиб писал(а):
P.S. Теория чисел не может быть особняком.
Насчёт "особняка" - это я сказал, а не автор.
маткиб писал(а):
Есть и много других теорий с такими же свойствами.
С какими именно свойствами?
Ну как я понял из твоего же поста, имеется в виду следующее свойство: для любой формальной теории T можно построить отображение F (алгоритмически разрешимое) множества формул языка теории T в множество формул языка формальной арифметики, такое, что для любой формулы x верно (x выводима в T)<->(F(x) выводима в формальной арифметике Пеано).
Хотя про формальную арифметику Пеано ничего не говорилось, поэтому, возможно, имелось в виду (F(x) истинна в стандартной модели арифметики).
Если я правильно понял свойства (хотя бы в одном из случаев), то это верно и для многих других теорий.
Amigo писал(а):
2.Вы согласны с тем, что в теорию чисел можно перевести все проблемы о всех формальных теориях?
В таком виде, конечно же, не согласен. Всегда можно привести экзотический пример проблемы, которую нельзя сформулировать в языке теории чисел.
Другой вопрос, что все более или менее нужные проблемы о всех формальных теориях можно перевести в теорию чисел (к ним относятся проблемы доказуемости, непротиворечивости и т.п.). Под переводом подразумевается перевод в язык теории чисел, без привязки к какой-либо конкретной формальной теории, т.е. переводимая проблема будет эквивалентна
истинности полученной после перевода формулы в стандартной модели арифметики.
Ещё раз оговорюсь, что это верно только для проблем о формальных теориях, т.е. если к формальным теориям добавить семантику (связь с реальностью), то уже многие проблемы будут невыразимы (например, проблемы истинности, корректности и т.п.)
Amigo писал(а):
P.S.
Подход к доказательству теоремы Геделя основанный на теории алгоритмов, мне известен.
Читал я это 100 раз. Могу сказать, что совершенно неудачная попытка рассказывать теорему Гёделя таким способом. Во всей этой манипуляции с разрешимыми и перечислимыми множествами, не улавливается основная суть. Доказательство становится - бессущностным, неуловимым. И из них выхалащиваются основные идеи т.е. их просто не видно. Может это удобно в техническом плане, но в содержательном меня не устраивает. Но это мое
мнение, может и я и не прав.
Кому что удобнее.
Мне вот как прикладнику и программисту гораздо более понятен подход через теорию алгоритмов. Конечно, он обладает гораздо меньшими возможностями с точки зрения обобщения теоремы Гёделя на разные там логики "нетрадиционной ориентации". Но зато позволяет ясно увидеть и почувствовать прикладную сущность теоремы - невозможность поиметь всю математику одним методом. А классический подход мне напоминает синтаксический фокус, в котором никакой глубинный смысл увидеть нельзя.
Кстати, хорошие книги - трехтомник Верещагина и Шеня, там изложены оба подхода, причём понятно и с улучшающими понимание примерами, комментариями. Да и объём небольшой.