2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по доказательству
Сообщение28.02.2016, 20:32 


03/07/15
200
Добрый день.

Задача: показать что $(AB)^*=B^*A^*$. Здесь $*$ обозначает взаимную (союзную, присоединенную) матрицу.

Для случая когда эти матрицы невырожденны доказал, используя следующие факты:
  • $A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}A^*$
  • $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
  • $\det{AB}=\det{A}\det{B}$

Само доказательство несложно:

$
\frac{1}{\det{AB}}(AB)^*=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=\frac{1}{\det{B}}B^* \frac{1}{\det{A}}A^*= \frac{1}{\det{AB}}B^*A^*
$

Сокращаем $\frac{1}{\det{AB}}$, получаем искомое равенство: $(AB)^*=B^*A^*$

Еще аналогичными рассуждениями доказывается равенство $(A^*)^*=(\det{A})^{n-2}A$

А вопрос такой: действительно ли это доказательство для случая вырожденных матриц? Или нужно этот случай доказывать отдельно?

Добавлю почему возник вопрос. На ум приходит история открытия комплексных чисел. Когда в процессе выкладок допустили что корень из отрицательных чисел существует, после чего подобные корни сократились и получилось правильное решение кубического уравнения. Вот думаю может и в данном случае такая логика допустима, ведь обратные матрицы и деление на определитель используются только промежуточно.

В общем объясните, допустима ли такая логика или нет и почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по доказательству
Сообщение28.02.2016, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Да, такая логика допустима, но ее необходимо обосновать.

Самый простой способ обосновать - это использовать тот факт, что любая вырожденная матрица является пределом некоторой последовательности невырожденных, поэтому любое равенство непрерывных функций от элементов матрицы, которое верно на невырожденных матрицах, верно и на вырожденных.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group