Теорема австрийского математика Филиппа Фуртвенглера является одним из самых красивых результатов в истории ВТФ.
Ввиду важности этой теоремы, мы решили посвятить ей отдельную тему.
Пусть
, где
- простое число, и
- взаимно-простые целые числа.
Если
не делится на
и
- простой делитель числа
, то:
по модулю
.
Из этой теоремы следует первый случай ВТФ практически для любого конкретного простого числа
, поскольку сравнение
по модулю
выполняется только для
и
.
Возможно, существуют и другие такие простые
, но они пока не обнаружены.
Доказательство Фуртвенглера использует закон взаимности Эйзенштейна в кольце
.
Этот закон взаимности отличается от закона квадратичной взаимности Гекке.
Во-первых, в законе взаимности Эйзенштейна, речь идет о равенстве символов
и
, где
.
Во-вторых, число
должно быть целым рациональным.
В третьих, число
должно быть примарным, то есть сравнимым с целым числом по модулю
и взаимно-простым с
.
Это определение примарного числа отличается от определения Гекке для закона квадратичной взаимности: у Гекке примарным называется число, сравнимое с квадратом по модулю четырёх.
Идея доказательства Фуртвенглера заключается в том, что число
оказывается примарным, и удовлетворяет закону взаимности Эйзенштейна:
(1)
.
Число
является
-ой степенью идеала кольца
, поскольку такими являются числа
и
(это следует из равенства Ферма и условия:
не делится на
), а
является делителем единицы.
Значит
, и из (1) следует:
(2)
.
Символ
равен
.
Это не следует сразу из того, что число
является
-ой степенью идеала кольца
.
Это число не является примарным, и из закона взаимности не следует, что
.
Но число
сравнимо с
по модулю
, поскольку
делится на
, по условию.
А число
является примарным, поскольку сравнимо с
по модулю
, и, тем более, по модулю
.
Значит:
(3)
.
Из (2) и (3) следует:
(4)
.
Из равенства (4) следует результат
по модулю
.
Доказать это несложно, но мы не будем пока это делать.
Заметим только, что в доказательстве используется условие:
не делится на
, из которого следует, что число
не делится на
.
Это доказательство теоремы Фуртвенглера не является детальным.
является примарным.
.
Мы намереваемся привести недостающие доказательства в этой теме.
).
).
Желательно модифицировать теорему Фуртвенглера таким образом, чтобы можно было применить её ко второму случаю ВТФ.
Я пока не знаю, возможно ли это, и как это сделать.