Ещё о размерностях физических величин

[arseniiv]

Кажется, под следующим углом мы ещё здесь не обсуждали.

Пускай у нас есть физическая теория. Систему размерностей величин можно понимать как (подробности алгебраической структуры aside, они тут как раз обсуждались) отражение (в традиционной свободной коммутативной группе размерностей — не очень впечатляющее) ограничений на операции с величинами, которые исходят из математической теории, стоящей за физической: векторы из разных пространств нельзя складывать, точки нельзя умножать и т. п.. В более общей физической теории, как мы все знаем, обычно снимаются некоторые ограничения, бывшие в конкретных, что делает приписывание величинам слишком большого набора разных размерностей (длина и время, энергия и частота) некорректным.

Это более-менее все знают и без формализации. Теперь вопрос. Возьмём конкретную теорию — например, Стандартную модель. Какой максимальный набор размерностей можно получить?

Примеры. Возьмём СТО. Тут, кажется, две будет: масса и интервал (комментарии крайне желательны). Или классическую электродинамику (в плоском пространстве-времени*). Тут будет снова интервал, но ещё будет, кажется, ровно две размерности, соответствующие $F_{\mu\nu}$ (либо $A_{\mu}$) и 4-току. Тут тоже хорошо бы узнать, угадал или нет.

* Ничего не имею против неплоского, но сам примеров с ним приводить не стану, потому что наверняка получится ерунда.

Боюсь, не очень понятно описал, что интересует — вопросы для уточнений принимаются.

-- Чт фев 25, 2016 21:17:11 --

P. S. Ещё со спинорами было бы интересно. Пытался ли кто-то им приписывать от нечего делать размерности, и что вышло.

[amon]

Просто что бы разговор начался (я тогда в сторонке посижу и послушаю). Единицы бывают основные (из парижского бюро, где эталонная лошадь...) и производные. Так вот, в HEP (частицах) одна единственная основная единица - eV (MeV), в них все меряют, начиная от длины, и кончая угловым моментом. И даже её оставили из человеколюбия, поскольку можно и без нее обойтись. Это про минимальный набор. А максимальный - как минимум бесконечное счетное множество, ибо ни кто не запрещает иметь, скажем, отдельный эталон площади, объема и далее для всех $N$.

[Munin]

Нет такой теории, как СТО. Есть такая мета-теория. Это значит, что она не описывает реальных физических явлений (ну, строго говоря, описывает, но очень скудно), зато служит сценой для других физических теорий, которые могут быть выражены на её языке.

Сама по себе СТО фактически описывает только пространство-время и 4-векторы. Её ещё можно назвать кинематикой (хотя часто кинематикой называют более широкую штуку).
СТО + механика = (спец)-релятивистская механика. Здесь описываются точечные частицы, масса, энергия, ТЭИ.
СТО + электродинамика = электродинамика. Здесь описываются заряды и поля.
Возможны и другие комбинации: СТО + термодинамика, СТО + гидродинамика (неизбежно с термодинамикой), и т. п.

Для теорфизики, по сути, СТО = лоренц-инвариантность, а добавляются в неё различные теории поля. Можно добавить электромагнитное поле - это будет стандартная электродинамика. Можно добавить другие поля, как реальные, так и вымышленные, в том числе:
- фермионные - описывают квантовые "частицы вещества" на полевом уровне;
- гравитационное - получится ОТО (на плоском ненаблюдаемом фоне);
- какие-нибудь скалярные, векторные массивные, поля Янга-Миллса, ЧСНС, и прочую теоретень;
- в том числе, таким способом получаются вполне реальные поля сильного и слабого взаимодействия, которые в сумме дают Стандартную Модель.

arseniiv в сообщении #1102081 писал(а):

Возьмём СТО. Тут, кажется, две будет: масса и интервал (комментарии крайне желательны).

СТО - интервал only.
СТО + механика - добавляется масса, она же энергия, она же действие.
СТО + квантовая механика - масса опять исчезает, потому что $\hbar=1.$

СТО + электродинамика - добавляется заряд. Из него производными единицами получаются напряжённости поля (используется энергия или действие). Кажется, заряд можно выразить через энергию. В квантовом случае $\hbar=1$ убивает энергию.

СТО + любое другое поле - обычно добавляются какие-то размерности зарядов и напряжённостей этих полей. Впрочем, они тоже могут выражаться через энергию.

Окунь. Физика элементарных частиц.
Дополнение 1. О системах единиц.

Цитата:

Система единиц $\boldsymbol{\hbar,c=1}$ широко используется в физике элементарных частиц. Удобство этой системы связано с тем, что физика элементарных частиц имеет дело с квантовыми релятивистскими явлениями, и поэтому в качестве единицы действия естественно выбрать квант действия $\hbar,$ а в качестве единицы скорости — скорость света $c.$ Далее, естественно принять, что действие и скорость безразмерны и положить $\hbar$ и $c$ равными единице. (По существу, скорость света принимают равной единице, когда в астрономии измеряют расстояния в световых годах; надо только опустить прилагательное «световой».) При этом скорость $v,$ действие $S$ и угловой момент $J$ становятся безразмерными величинами: $[v]=[S]=[J]=1.$ Размерности пространственных координат $\boldsymbol{r}$ и временной координаты $t$ одинаковы: $[\boldsymbol{r}]=[t].$ Одинаковы размерности энергии $E,$ импульса $\boldsymbol{p}$ и массы $m$: $[E]=[\boldsymbol{p}]=[m].$ Более того, если учесть квантовомеханическую связь между энергией $E$ и частотой $\omega$: $E=\hbar\omega$ — или между импульсом $p$ и длиной волны частицы $\lambda$: $p=2\pi\hbar/\lambda,$ то очевидно, что


$$[\boldsymbol{r}^{-1}]=[t^{-1}]=[\boldsymbol{p}]=[E]=[m].$$

Нетрудно показать также, что в единицах $\hbar,c=1$


$$[\boldsymbol{A}]=[A_0]=[m],\quad\text{a}\quad[\boldsymbol{E}]=[\boldsymbol{H}]=[m^2].$$

Здесь $\boldsymbol{A}$ — векторный потенциал, $A_0$ — электрический потенциал, $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ — напряженности электрического и магнитного полей соответственно. Лагранжиан $\mathscr{L}$ имеет размерность $[m^4].$ Все бозонные поля, подобно фотонному полю, имеют размерность $[\varphi]=[m],$ а все фермионные — размерность $[\psi]=[m^{3/2}].$ Проще всего в этом убедиться взглянув на соответствующие массовые члены в лагранжиане: $m^2\varphi^+\varphi$ и $m\bar{\psi}\psi.$ Таким образом, все физические величины, имеющие ненулевую размерность в единицах $\hbar,c=1,$ можно измерять в единицах энергии или массы.
    В системе $\hbar,c=1$ электрический заряд*) $e$ — безразмерная величина: $e^2/\hbar c=\alpha,$ где $\alpha,$ — так называемая постоянная тонкой структуры (это название возникло в атомной физике, где $\alpha$ определяет масштаб так называемого тонкого расщепления атомных уровней); $\alpha^{-1}=137{,}03604(11)$ **). Также безразмерными величинами являются цветовой и слабый заряды, квадраты которых обозначаются $\alpha_s$ и $\alpha_w$ соответственно. Что касается фермиевской константы четырехфермионного слабого взаимодействия $G_F,$ то это величина размерная: $[G_F]=[m^{-2}].$ Ту же размерность имеет и ньютоновская константа гравитационного взаимодействия $G_N.$

----------------
*) В этом приложении мы используем величину единичного заряда $e,$ которая нормирована таким образом, что $e^2/\hbar c=\alpha.$ Отвечающая именно такой нормировке величина заряда электрона приводится обычно в таблицах физических величин. В остальном тексте книги единичный электрический заряд $e$ нормирован иначе: $e^2/4\pi\hbar c=\alpha.$ Именно эта последняя нормировка широко принята в книгах и статьях по квантовой электродинамике и квантовой теории поля. В первом случае кулоновский потенциал между двумя электронами имеет вид $e^2/r,$ во втором $e^2/4\pi r.$
**) Здесь и в дальнейшем тексте этого приложения число в скобках указывает неопределенность в одно стандартное отклонение в последних значащих цифрах основного числа:


$$137{,}03604(11)=137{,}03604\pm 0{,}00011.$$

***) Согласно стандарту СИ, секунда сокращенно обозначается с. Мы здесь и ниже используем сокращение «сек», чтобы не возникало путаницы со скоростью света $c.$

(Добавлю, что

Цитата:

В первом случае кулоновский потенциал между двумя электронами имеет вид $e^2/r,$ во втором $e^2/4\pi r.$

- первый случай называется системой единиц Гаусса, а второй - Лоренца-Хевисайда (тж. просто Хевисайда и просто Лоренца).)

-- 25.02.2016 23:53:32 --

amon в сообщении #1102152 писал(а):

И даже её оставили из человеколюбия, поскольку можно и без нее обойтись.

Вы про планковские единицы? Ну, они неудобны.

Моё имхо: система единиц носит исключительно утилитарный смысл, и её надо допиливать в каждой области, где она применяется, так, чтобы удобно было работать. Например, астрономы вводят такую единицу массы, как масса Солнца - потому что выражать звёзды в килограммах неудобно.

Так что, где-то может быть удобно три базовых единицы (как в СГС), или одна (эВ), или семь (СИ). А где-то - да хоть семнадцать! Кроме того, я полагаю, что "градус угла", или "мах" - вполне себе нормальные единицы и размерности, выполняющие свою роль - не допускать ошибок в вычислениях, и придавать им смысл :-)

[arseniiv]

amon в сообщении #1102152 писал(а):

А максимальный - как минимум бесконечное счетное множество, ибо ни кто не запрещает иметь, скажем, отдельный эталон площади, объема и далее для всех $N$.

То, что единиц можно наделать побольше, даже если без эталонов а просто выражая через другие, это, конечно, понятно. Тут имелась в виду независимая система размерностей, вот про независимость я почему-то забыл написать явно.

Munin в сообщении #1102153 писал(а):

СТО + механика - добавляется масса, она же энергия, она же действие.

Да, я вот это сочетание имел в виду в том месте.

Munin в сообщении #1102153 писал(а):

СТО + электродинамика - добавляется заряд. Из него производными единицами получаются напряжённости поля (используется энергия или действие). Кажется, заряд можно выразить через энергию.

(Так, вот тут надо будет завтра мне почитать…)

И за Окуня спасибо. С фермионными полями странно: казалось (но без особых поводов), там должна быть степень $1/2$.

Munin в сообщении #1102153 писал(а):

Моё имхо: система единиц носит исключительно утилитарный смысл, и её надо допиливать в каждой области, где она применяется, так, чтобы удобно было работать. Например, астрономы вводят такую единицу массы, как масса Солнца - потому что выражать звёзды в килограммах неудобно.

Так что, где-то может быть удобно три базовых единицы (как в СГС), или одна (эВ), или семь (СИ). А где-то - да хоть семнадцать! Кроме того, я полагаю, что "градус угла", или "мах" - вполне себе нормальные единицы и размерности, выполняющие свою роль - не допускать ошибок в вычислениях, и придавать им смысл

Ну, это-то не только ваше имхо. Сколько характерных масштабов у разных величин, как минимум столько и единиц будет удобно. Правда, зачем их сопровождать увеличением числа размерностей, не совсем ясно. (Кстати, а что, вы где-то видели неединичную размерность градуса угла? А как его тогда подставлять в синусы?)

[amon]

arseniiv в сообщении #1102166 писал(а):

Тут имелась в виду независимая система размерностей

А это что за зверь? (Если что, мои познания в теме ограничиваются книжкой Сена и устным народно-физическим фольклором)

arseniiv в сообщении #1102166 писал(а):

Кстати, а что, вы где-то видели неединичную размерность градуса угла? А как его тогда подставлять в синусы?

Кто мешает мерить угол в длине единичной окружности и иметь при аргументе синуса размерную константу. Идиотизм - не аргумент. В "любимой" СИ и не такое встречается, и ничего.

[arseniiv]

А, ясно. Не подумал, что нашлись бы любители сначала умножать размерный угол на обезразмеривающую константу.

amon в сообщении #1102168 писал(а):

А это что за зверь?

Это просто такой набор размерностей, которые нельзя выразить друг через друга. Например, $\mathrm{L, M, I}$ или $\mathrm{LT^{-1}, M}$ в СИ. А $\mathrm{L^2, T, LT^{-2}}$ будет зависимым.

-- Пт фев 26, 2016 14:07:22 --

Munin в сообщении #1102153 писал(а):

Кажется, заряд можно выразить через энергию.

Кажется, не обязательно $[\mu_0]$ (или $[\varepsilon_0]$, обратная ей) единична. У меня получилось $[q^2] = [\varepsilon_0]\mathrm{MT}$.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1102166 писал(а):

То, что единиц можно наделать побольше, даже если без эталонов а просто выражая через другие, это, конечно, понятно. :-)

Моё предложение: даже базовых единиц можно сделать побольше, а не надо фанатично пытаться выражать одни через другие :-)

Например, есть такая единица БЭР (rem). Биологический эквивалент рентгена. По размерности - ну точь-в-точь как рентген (доза излучения). Но БЭР не равен рентгену. Надо взять дозу излучения в рентгенах, и пересчитать её с учётом вида излучения, поскольку разные частицы по-разному действуют на живые ткани. (При этом всё равно получаются очень примерные топоры, но всё-таки в какой-то мере пригодные для оценки биологической опасности.)

arseniiv в сообщении #1102166 писал(а):

С фермионными полями странно: казалось (но без особых поводов), там должна быть степень $1/2$.

Ну давайте посчитаем топорно. Возьмём волновую функцию нерелятивистской квантовой механики (именно она соответствует фермионным полям). Для неё имеем по вероятностной интерпретации $\int\Psi^*\Psi\,d^3x=1$ - вероятность, то есть, безразмерная величина. То есть, $[\Psi^2]=[r^{-3}],$ и сразу $[\Psi]=[r^{-3/2}].$

Впрочем, это не совсем честно: нерелятивистская $\Psi$ не всегда переходит в релятивистское фермионное поле $\psi.$ Но зато убедительно :-)

arseniiv в сообщении #1102166 писал(а):

Кстати, а что, вы где-то видели неединичную размерность градуса угла? А как его тогда подставлять в синусы?

Через переводной коэффициент $\dfrac{\pi\text{ рад}}{180^\circ}.$ На калькуляторах, этот переводной коэффициент просто учитывается автоматически, когда вы переводите их в "режим градусов". Да и радианы можно считать размерными... (И показатели экспонент - тоже. Например, соотношение между временем жизни $\tau$ и периодом полураспада $T_{1/2},$ известное как $T_{1/2}=\tau\ln 2,$ есть просто переводной коэффициент.)

И вообще, переводных коэффициентов - большая куча, и в быту, и в жизни. Как перевести акры в квадратные километры? Узлы в километры в час? Галлоны в литры? Доллары в фунты? Не надо думать, что это что-то экзотическое, даже если вы в школе привыкли к СИ.

Даже СИ от переводных коэффициентов не свободна. Помните формулу $F=\dfrac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}$? Вот что такое $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0},$ знаете? Может, вы думаете, что это константа электростатического взаимодействия, аналогично гравитационной константе в формуле Ньютона? Нет, вас в школе обманули. Это чисто искусственный коэффициент, строго равный $10^{-7}c^2,$ где под $c$ подразумевается не физическая скорость света, а опять же число, поскольку в СИ нет отдельного эталона метра, а он определяется через секунду, умножением на этот искусственный и формально фиксированный переводной коэффициент. Если кто-то измеряет скорость света экспериментально, то он измеряет нечто другое - и в системе единиц СИ то, что он измеряет, вообще нельзя выразить :-)

[arseniiv]

Munin в сообщении #1102215 писал(а):

Ну давайте посчитаем топорно. Возьмём волновую функцию нерелятивистской квантовой механики (именно она соответствует фермионным полям). Для неё имеем по вероятностной интерпретации $\int\Psi^*\Psi\,d^3x=1$ - вероятность, то есть, безразмерная величина. То есть, $[\Psi^2]=[r^{-3}],$ и сразу $[\Psi]=[r^{-3/2}].$

Впрочем, это не совсем честно: нерелятивистская $\Psi$ не всегда переходит в релятивистское фермионное поле $\psi.$ Но зато убедительно

Ой, что-то я даже сам не попробовал так прикинуть. Да, убедительно!

Munin в сообщении #1102215 писал(а):

Через переводной коэффициент $\dfrac{\pi\text{ рад}}{180^\circ}.$

Да, это я уже тоже понял. Обычно я его считал безразмерным, но если сделать градусы размерными, то и коэффициент станет размерным.

Munin в сообщении #1102215 писал(а):

Да и радианы можно считать размерными...

Если угол сделать размерным, $cos' x$ будет иметь размерность обратного угла.

Munin в сообщении #1102215 писал(а):

Не надо думать, что это что-то экзотическое

Конечно, не экзотическое. Матрица перехода от базиса к базису — пример переводного коэффициента.

Munin в сообщении #1102215 писал(а):

Даже СИ от переводных коэффициентов не свободна. <…>

Ну, это тоже не новость. Хотя для других читателей темы может быть удобно собрать всё вместе.

[Mihr]

arseniiv в сообщении #1102227 писал(а):

Если угол сделать размерным, $cos' x$ будет иметь размерность обратного угла.

Мне тоже не очень нравится представление о величине угла (плоского или телесного) как о размерной величине. С одной стороны, понятно: всякая величина должна измеряться в подобных ей величинах. Длина может измеряться лишь в единицах длины, масса - лишь в единицах массы и т.д. Но тогда, если проявить последовательность, следовало бы считать: сколько физических величин, столько и их "типов" (то бишь размерностей, понимаемых неформально, как тип, "природа" величины). Если же мы договорились использовать лишь несколько единиц в качестве основных, а остальные считать производными, тогда нужно смириться и с тем, что некоторые величины, имеющие различный физический смысл, обретут одинаковую размерность, а некоторые станут "безразмерными". Так оно и происходит в действительности. Например, энергия и момент силы имеют фактически одинаковую размерность (в рамках СИ или СГС), и эти размерности специально обозначают по-разному, очевидно, во избежание путаницы. Что касается величин, представляющих собою отношение однотипных величин, то они, естественно, становятся безразмерными. Например, коэффициент трения (отношение модуля силы к модулю силы) или альбедо (отношение светового потока к световому потоку) - безразмерные величины. Но чем лучше их величина плоского угла (отношение длины дуги к её радиусу) или величина телесного угла (отношение площади сферического сегмента к квадрату его радиуса) - этого я не понимаю. Я тоже считаю, что названия "радиан" и "стерадиан" полезны, - но лишь во избежание путаницы. Чтобы не спутать эти величины с другими "безразмерными" величинами. Но, по сути, отличие радиана или стерадиана от единицы - той же природы, что и отличие джоуля от "ньютон-на-метра": это памятка о том, с чем мы имеем дело. С энергией или моментом силы в одном случае, с плоским ли, с телесным ли углом или ещё с чем-то "безразмерным" в другом случае. По-моему, так.

[amon]

arseniiv в сообщении #1102199 писал(а):

Это просто такой набор размерностей, которые нельзя выразить друг через друга.

Так вроде как все через все выражается. Все-таки между математиками и физиками рубеж - физикам иногда трэба что-то руками измерить. Я извиняюсь за изложение тривиальностей, но... Есть основные единицы и производные. Основные - это берем эталон и прикладываем, производные - эталона нет, но есть уравнение ("закон физики", называется определяющим уравнением). Единица выбирается так, что бы в этом уравнении коэффициент был единицей. Пример (спер у Сенн'ы). Есть единица длины, хотим считать площадь производной единицей. Говорим, что в уравнении для квадрата с единичной стороной $S=a^2$, получаем квадратный метр. С тем же успехом можно считать единицей площади круг, диаметром 1. Тогда в круглых метрах площадь квадрата будет $S=\frac{4}{\pi}a^2$. А можно взять отдельный эталон площади, и прикладывать его. Тогда в уравнении для площади квадрата $S=Ka^2$ будет коэффициент, зависящий от выбора эталона. Это я к тому, что выбор того, что можно, а что нельзя выразить друг через друга, целиком в наших руках.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1102227 писал(а):

Если угол сделать размерным, $cos' x$ будет иметь размерность обратного угла. :-(

И шо в этом таки плохого? Обычно так и есть. $(\cos\omega t)'$ имеет размерность частоты.

Mihr в сообщении #1102257 писал(а):

Мне тоже не очень нравится представление о величине угла (плоского или телесного) как о размерной величине.

А вот тут есть заковыристый вопрос. Величина полного плоского угла - $2\pi$ (одних безразмерных единиц), или $1$ (других безразмерных единиц)? Величина полного телесного угла - $4\pi$ (одних безразмерных единиц), или $1$ (других безразмерных единиц)?

От этого зависит, например, писать ли $F=\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$ или $F=\dfrac{q_1 q_2}{4\pi\,r^2}.$ Или, писать ли $\operatorname{div}\mathbf{E}=\rho$ или $\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\,\rho.$ Или же, писать ли $\mathcal{L}=\tfrac{1}{16\pi}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ или $\mathcal{L}=\tfrac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}.$

Вопрос не праздный. В одних местах предпочитают писать так, в других - иначе. Правда, всё равно все привыкли считать за единицу именно радиан. Но мне кажется, это пережиток. Да здравствует наиболее фундаментальная система единиц $2\pi=1$!

Mihr в сообщении #1102257 писал(а):

Но тогда, если проявить последовательность, следовало бы считать: сколько физических величин, столько и их "типов" (то бишь размерностей, понимаемых неформально, как тип, "природа" величины).

Тут есть некоторое "базовое" наблюдение. Некоторые физические величины, являющиеся величинами разной природы, тем не менее связаны между собой формулами типа сложения. Например, $K+\Pi=\mathrm{const},$ где $K$ и $\Pi$ - кинетическая и потенциальная энергии. Или, $E_2-E_1=A$ - работа.

Логично было бы ввести некоторую эквивалентность, являющуюся транзитивным замыканием от отношения, что разные величины входят между собой в такие соотношения.

Ну а потом начинаются уже следующие наблюдения, что есть формулы типа $ab=c$...

amon в сообщении #1102285 писал(а):

Есть основные единицы и производные. Основные - это берем эталон и прикладываем, производные - эталона нет, но есть уравнение ("закон физики", называется определяющим уравнением).

Фишка в том, что могут существовать и эталон, и уравнение.

[amon]

Munin в сообщении #1102335 писал(а):

Фишка в том, что могут существовать и эталон, и уравнение.

Угу, но в этом случае в уравнении, как правило,стоит коэффициент, зависящий от выбора эталона.

Munin в сообщении #1102335 писал(а):

Некоторые физические величины, являющиеся величинами разной природы, тем не менее связаны между собой формулами типа сложения.

В этой науке, помнится, есть величины, отношение которых совсем не зависит от выбора системы единиц (равной размерности - радиус и длина окружности) и те, для которых это отношение зависит от системы единиц, хотя складывать их можно (потенциальная и кинетическая энергия).

[Munin]

Ладно. Кельвин и градус цельсия - разные единицы? (Для полной подлянки, надо было добавить третий пункт "градус Кельвина"...)

[amon]

Munin в сообщении #1102346 писал(а):

Кельвин и градус цельсия - разные единицы?

Конечно разные, а кто-то сомневается? Более того, одна основная, а другая - производная.

[Mihr]

Munin в сообщении #1102335 писал(а):

А вот тут есть заковыристый вопрос. Величина полного плоского угла - $2\pi$ (одних безразмерных единиц), или $1$ (других безразмерных единиц)? Величина полного телесного угла - $4\pi$ (одних безразмерных единиц), или $1$ (других безразмерных единиц)?

"Объективно" вряд ли можно сказать, что лучше. Тут прежде всего вопрос личных предпочтений, а о вкусах, как известно, не спорят.
Я бы предпочёл, чтобы радиан оставался именно таким, каков он есть теперь. В противном случае пришлось бы радиус окружности измерять в одних единицах длины, а длину окружности - в других единицах. Мне от этого как-то неуютно...

Munin в сообщении #1102335 писал(а):

От этого зависит, например, писать ли $F=\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$ или $F=\dfrac{q_1 q_2}{4\pi\,r^2}.$

Понятно, что изменением масштаба можно добиться изгнания безразмерных коэффициентов из некоторых уравнений, но взамен они появятся в других уравнениях. Так что польза от изменения масштаба довольно призрачна.

Munin в сообщении #1102335 писал(а):

Тут есть некоторое "базовое" наблюдение. Некоторые физические величины, являющиеся величинами разной природы, тем не менее связаны между собой формулами типа сложения. Например, $K+\Pi=\mathrm{const},$ где $K$ и $\Pi$ - кинетическая и потенциальная энергии. Или, $E_2-E_1=A$ - работа.

Я понимаю, что Вы имеете в виду, но пример с работой и потенциальной энергией, имхо, - не самый удачный. Точнее, он будет "работать" лишь если определить потенциальную энергию независимо от понятия "работа". Что само по себе мне кажется искусственным. Я лично привык к определению Сивухина: потенциальная энергия системы в заданном положении - это работа консервативных сил по переходу системы из заданного положения в положение, принятое за нулевое. При другом определении, наверное, пришлось бы специально оговаривать возможность складывать/вычитать работу и энергию.