Одна из цифр равна среднему гармоническому двух других цифр

[Ktina]

Сколько существует трёхзначных чисел, у которых одна из цифр равна среднему гармоническому двух других цифр?

[Mihr]

(Оффтоп)

Если имеется в виду, что все цифры разные, то 12 чисел (6 чисел из цифр 2, 3, 6, столько же из цифр 3, 4, 6). Перебор показывает, что других вариантов с тремя разными цифрами нет.
Если допустимы повторяющиеся цифры, тогда ещё 9 чисел (111, 222, ... , 999), всего 21 число.
Если чисто формально определить среднее гармоническое двух чисел как отношение их произведения к их среднему арифметическому, то можно допустить также числа, в записи которых два нуля (100, 200, ... , 900), считая что один из нулей - среднее гармоническое другого нуля и числа, выраженного ненулевой цифрой. Тогда ответ - 30 чисел.

[Ktina]

Mihr
Спасибо!
Кроме перебора - никак? Никакой идеи?

[Mihr]

Ktina в сообщении #1101922 писал(а):

Кроме перебора - никак? Никакой идеи?

Наверное, можно что-то придумать - ради "чисто спортивного" интереса. Только смысла в этом немного: перебор осуществляется очень быстро и просто.
Пусть цифры $a, c$ различны, причём $a<c$. Пусть, далее $b$ - третья цифра, среднее гармоническое предыдущих, так что $a<b<c$. Пользуясь определением среднего гармонического, получаем $c=\frac{ab}{2a-b}$. Отсюда сразу видно
- если $a=1$, то ни одно $b$ не подходит
- если $a=2$, то подходит лишь $b=3$
и т.д.
Так как разность $c-a$, очевидно не меньше 3, перебор следует продолжать лишь до $a=6$.
Наверное, существует более изящное решение, но менее трудоёмкое - вряд ли.