уравнение Эйлера-Лагранжа

[falazure123]

доброго времени суток.

подскажите , пожалуйста, с чего начать.. нужно доказать переход от такого:
$ \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial y'} (y(x), y'(x)) - \frac{\partial F}{\partial y} (y(x), y'(x)) = 0 $

к такому:

$ y' \frac{\partial F}{\partial y'} - F = C $

нужно проинтегрировать как-то по идее, чтобы получить желаемое..

[Red_Herring]

falazure123 в сообщении #1101495 писал(а):

нужно проинтегрировать

А проще второе продифференцировать

[falazure123]

Red_Herring в сообщении #1101496 писал(а):

falazure123 в сообщении #1101495 писал(а):

нужно проинтегрировать

А проще второе продифференцировать

но первое же вроде не получится?
и по идее же нужно от первого ко второму перейти..

[Red_Herring]

falazure123 в сообщении #1101499 писал(а):

но первое же вроде не получится?
и по идее же нужно от первого ко второму перейти..

Получится. И какая разница в какую сторону идти.

ОК, умножьте первое на $y'$, внесите $y'$ под $\frac{d}{dx}$, и отнимите образовавшийся от этого лишний член. Что получится?

[falazure123]

Red_Herring в сообщении #1101501 писал(а):

falazure123 в сообщении #1101499 писал(а):

но первое же вроде не получится?
и по идее же нужно от первого ко второму перейти..

Получится. И какая разница в какую сторону идти.

ОК, умножьте первое на $y'$, внесите $y'$ под $\frac{d}{dx}$, и отнимите образовавшийся от этого лишний член. Что получится?

домножил

$ y' \frac{d}{dx} F_{y'}- F_{y}y' = 0 $

если внести $y'$ под $\frac{d}{dx} $ это будет $y''$ и получается тогда

$y'' F_{y'} - F_{y}y' = 0 $

а это на второе не очень же походит

[Slav-27]

falazure123
Домножили правильно, внесли неправильно.
Вы умеете дифференцировать произведение?

[Red_Herring]

falazure123 в сообщении #1101510 писал(а):

получается тогда

Нет, конечно! получается

$$\frac{d}{dx} y'F_{y'}- y''F_{y'}-y'F_y=0$$

и дальше сообразите что такое эти оставшиеся члены

[falazure123]

Red_Herring в сообщении #1101514 писал(а):

falazure123 в сообщении #1101510 писал(а):

получается тогда

Нет, конечно! получается

$$\frac{d}{dx} y'F_{y'}- y''F_{y'}-y'F_y=0$$

и дальше сообразите что такое эти оставшиеся члены

что-то не понимаю , что должно выйти

$\frac{d}{dx} y'F_{y'} = y''F_{y'} + y'F_{y} $

хотим как-то получить правую часть без $\frac{d}{dx}$ , а справа $ F + C $ . Но тут ни константы, ни $F$ нету пока что :c

[Red_Herring]

А что стоит справа? Можете распознать?

Red_Herring в сообщении #1101514 писал(а):

и дальше сообразите что такое эти оставшиеся члены

[falazure123]

Red_Herring в сообщении #1101521 писал(а):

А что стоит справа? Можете распознать?

Red_Herring в сообщении #1101514 писал(а):

и дальше сообразите что такое эти оставшиеся члены

если вы об этом $y'' F_{y'} + y' F_{y} $
похоже на производную произведения. но не придумать такую функцию.

[Red_Herring]

falazure123 в сообщении #1101524 писал(а):

охоже на производную произведения. но не придумать такую функцию.

Похоже что функций многих переменных Вы не знаете. Подсказка (последняя): производная сложной функции

[falazure123]

Red_Herring в сообщении #1101527 писал(а):

falazure123 в сообщении #1101524 писал(а):

охоже на производную произведения. но не придумать такую функцию.

Похоже что функций многих переменных Вы не знаете. Подсказка (последняя): производная сложной функции

ох да. что-то глупо получилось

$ y'' F_{y'} + y' F_{y} = \frac{d}{dx}F $

Таким образом:

$\frac{d}{dx}y' F_{y'} = \frac{d}{dx}F $

Проинтегрируем и получим то , что требовалось:

$y' F_{y'} = F + C $