Простое число Ферма не Виверихова.

[Руст]

Пусть число $p=a^n+1$ простое. Докажите, что $p^2\not |a^{p-1}-1$.

[maxal]

Понятно, что $a^{p-1}-1$ делит $a^{(p-1)n}-1=(p-1)^{p-1}-1.$ Но для нечётного $p$, пользуясь биномом Ньютона, имеем:

$$(p-1)^{p-1}-1\equiv p\pmod{p^2}$$

и поэтому $p^2$ не может делить $a^{p-1}-1.$

Если же $p=2,$ то $a=1$ и в этом случае имеем контр-пример к условию задачи.

Кстати, как видно из вышесказанного, простота $p$ здесь роли не играет - важна только нечётность $p$. Хотя для чётного $p>2$ все тоже легко доказывается.