Определение "Аксиоматическая система"

[Eric1987]

Добрый День!
Подскажите пожалуйста, есть ли точное определение/термин "Аксиоматическая система"?
Читаю Шенфилд Дж. Математическая логика, для "формальной системы" определение дано, а для "аксиоматической системы" нет.
Правильно ли я понимаю, что ("Аксиоматическая система" - "Семантика") = "Формальная Система" ?
исходя из этой цитаты?

[Xaositect]

Насколько я понял, у Шенфилда "аксиоматическая система" - это некоторое неформальное понятие. А формальная система - это уже строго определенный объект.
Подобно тому, что есть неформальное понятие алгоритма как системы элементарных шагов, выполняемых в заданной последовательности, и строгое понятие алгоритма как, например, машины Тьюринга.

[Eric1987]

В книге A Course in Modern Geometries автора Judith Cederberg
https://books.google.com.ua/books?id=jv ... em&f=false

вычитал следующее:
"Components of an Axiomatic System:
1. Undefined terms.
2. Defined terms.
3. Axioms.
4. A system of logic.
5. Theorems. "

Правильно ли я понял, что под аксиоматической системой понимают некоторую теорию, то есть теория это и есть аксиоматическая система? Ну или, что некоторая теория может быть на данный момент не аксиоматизированной, но в идале любую теорию лучше аксиоматезировать, то есть свести к аксиоматической системе или лучше сказать "описать в виде аксиоматической системы"?

[arseniiv]

И что вам даст, скажем, не перечислимое множество аксиом?

[Eric1987]

Я кажется понял Ваше замечание, то есть для того что бы теория была полезной/применимой наши аксиомы должны быть еще и конечного множества?

[arseniiv]

Это термин из теории вычислимости. Множество называется перечислимым, если существует алгоритм, перечисляющий все его элементы, т. е., строго говоря, существует вычислимая функция натурального аргумента, множество значений которой — данное. Конечное-то множество всегда перечислимо, а вот счётное — уже не обязательно.

[Eric1987]

Понял. Спасибо!
А касательно терминологии аксиоматическая система, можно ли ее понимать как аксиоматезированную теорию?

[arseniiv]

Почему бы и нет. В любом случае, лучше всегда оговаривать, какой термин что значит.