Векторные операторы и дельта-функция

[egor20]

Пожалуйста подскажите.

Чему равны обобщенные градиент, дивергенция и ротор от функции непрерывной, но имеет скачок при переходе через поверхность (уравн. поверх. известно). В гуру по обоб. функциям Гельфанда и Владимирова -тишина.

[Sicker]

egor20
Она не может быть непрерывной, если имеет скачок.

-- 21.02.2016, 19:00 --

egor20
А так записать разложение по координатным осям и тупо применить эти линейные операторы.

[svv]

Попробуйте сами это выяснить, исходя из условия, что интегральные теоремы должны остаться в силе. Например, дана поверхность $S$ и векторное поле $\mathbf a(\mathbf r), \mathbf r\in \mathbb R^3$, вне поверхности $S$ оно непрерывно. Предельные значения равны $\mathbf a_+(\mathbf r)$ и $\mathbf a_-(\mathbf r)$, $\mathbf r\in S$. Возьмите замкнутую поверхность $Q$, которая почти вплотную прилегает к некоторой части $S$ с обеих сторон, запишите для неё теорему Гаусса-Остроградского.

[Otta]

egor20 в сообщении #1101093 писал(а):

Чему равны обобщенные градиент, дивергенция и ротор от функции непрерывной,

Вот так все сразу? Или уж градиент - или уж ротор с дивергенцией.
Можно и самому, это недолго, можно и литературу почитать. Как-то не верится, что во Владимирове нет, а проверять лениво. Но уж у Гельфанда точно есть.

[Munin]

Как это сделать "на пальцах". Вводим систему координат (локальную) такую, что функция испытывает скачок на плоскости $x=0.$ Расписываем градиенты, дивергенции и роторы через координаты (частные производные). Вычисляем. В одном месте там вылезет дельта-функция, а в других - нет.

Потом делаем вид, что мы крутые математики, и "обобщаем" получившееся выражение на произвольную форму поверхности.

Подстава: если производные высоких порядков, то может заиграть кривизна поверхности.

[egor20]

Интегральные теоремы и в том числе Гаусса-Остроградского применимы только в области непрерывности функции. У меня задача
скачок по отношению к поверхности, а не плоскости.

[Otta]

egor20 в сообщении #1101171 писал(а):

Интегральные теоремы и в том числе Гаусса-Остроградского применимы только в области непрерывности функции.

А Вам никто не советовал применять ее вне области применимости.

Почитайте Гельфанда, там ничего особо отличающегося от того, что Вам советуют, и нет.

[svv]

egor20, Вы верите в теорию о том, что всё с нами однажды уже случалось?

[egor20]

Верю, но вопрос по сей день остается открытым.Я в упор не вижу искомую математическую запись.
Если Вы имеете ввиду малопригодную для приложений ,, Обобщенные функции и действия над ними,, то там о связи векторных
операторов с дельта-функцией ни слова.

[Red_Herring]

Ну а если поговорить сначала о скалярных. Вот есть функция,

svv в сообщении #1101103 писал(а):

Попробуйте сами это выяснить, исходя из условия, что интегральные теоремы должны остаться в силе. Например, дана поверхность $S$ и векторное поле $\mathbf a(\mathbf r), \mathbf r\in \mathbb R^3$, вне поверхности $S$ оно непрерывно. Предельные значения равны $\mathbf a_+(\mathbf r)$ и $\mathbf a_-(\mathbf r)$, $\mathbf r\in S$.

Что будет если её продифференцировать по $x$? Очевидно, там будут две составляющие: одна (стандартная) , полученная дифференцированием вне $S$ и вторая (обобщённая)--вклад от скачка. Чему будет равна эта вторая часть?

[Otta]

egor20 в сообщении #1101347 писал(а):

Если Вы имеете ввиду малопригодную для приложений ,, Обобщенные функции и действия над ними,, то там о связи векторных
операторов с дельта-функцией ни слова.

Ну а как же. )) Кто ж ее читать будет, эту главу, где, собственно, дельта-функция на поверхности и определяется, малопригодная для приложений.

Глава 3. Лучше полностью.

[egor20]

Вторая часть будет равна скалярному произведению скачка на вектор нормали к поверхности и умноженое на дельта-функцию от r.
Этот член скаляр и может подойти для дивергенции, но градиент и ротор - векторы.

[Red_Herring]

egor20 в сообщении #1101378 писал(а):

Вторая часть будет равна скалярному произведению скачка на вектор нормали к поверхности и умноженое на дельта-функцию от r.
Этот член скаляр и может подойти для дивергенции, но градиент и ротор - векторы.

Если у Вас есть скалярная функция, то чем будет её скачок? Чему будет равен её градиент?


Если у Вас векторная функция, то чем будет её скачок? Чему будет равен её дивергенция? ротор?

[Munin]

egor20 в сообщении #1101347 писал(а):

Верю, но вопрос по сей день остается открытым.Я в упор не вижу искомую математическую запись.

А вы последовали советам, которые вам дали? Или просто "не видите"? От вас некоторая работа ожидается.

[egor20]

Конечно для скалярной функции скачок скаляр, а для векторной-вектор и если учесть, что оба слагаемых(части) должны быть или
скалярами или векторами то вторая часть: для градиента-произведение скачка(скаляра),на нормаль,на дельта-функцию, для
дивергенции-скалярное произведение скачка(вектора) на нормаль и на дельта-функцию и наконец для ротора-векторное произведение скачка(вектора) на нормаль и на дельта-функцию.Правильно я понял?