рекурентная формула для функций Бесселя

[volchenok]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. Всем хорошо известна формула для понижения индекса функции Бесселя $J_{n}(z)=\frac{2(n-1)}{z}J_{n-1}(z)-J_{n-2}(z)$ , где $n$ - целое положительное число. Если проделать эту операцию несколько раз, то, я думаю, можно это выражение свести к $J_{n}(z)=P(\frac{1}{z})J_{1}(z)+Q(\frac{1}{z})J_{0}(z)$, где $P(\frac{1}{z})$ и $Q(\frac{1}{z})$ - полиномы. Помогите пожалуйста установить вид этих полиномов или укажите , где это можно найти. Буду очень благодарен. Заранее спасибо.

[profrotter]

Мне думается, один из путей - отвлечься от функций Бесселя и рассмотреть разностное уравнение $y_n=K(n-1)y_{n-1}-y_{n-2}$ с начальными условиями $y_0,y_1$. Навскидку, после применения преобразования Лорана (z-преобразования) получим диф. ур. первого порядка. Выразим изображение $Y(z)$, потом найдём обратное преобразование.

[svv]

volchenok в сообщении #1100586 писал(а):

я думаю, можно это выражение свести к $J_{n}(z)=P(\frac{1}{z})J_{1}(z)+Q(\frac{1}{z})J_{0}(z)$, где $P(\frac{1}{z})$ и $Q(\frac{1}{z})$ - полиномы

Да, это многочлены Ломмеля.
См. также Бейтмен, Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, том II, пункт 7.5.2 «Многочлены Ломмеля». Рекомендую сразу скачать все три тома и всегда их иметь на компьютере.

[volchenok]

спасибо большое за ценный ответ. Вы очень мне помогли.

[volchenok]

Эйфория оказалось преждевременной, к сожалению. В общем, мне нужно посчитать следующий ряд $\sum\limits_{k=0}^{\infty}J_{m+2k-1}(z)$ где $m$ - произвольное положительное целое число, а $z$ - произвольный корень функции Бесселя $m$-го порядка или корень производной функции Бесселя того же порядка. Я планировал понизить порядок функции Бесселя и вынести за знак суммы, но в результате получил под знаком суммы еще одни суммы. Посоветуйте, что делать. Заранее спасибо.

[mihiv]

В книге "Курс современного анализа" Уиттекер, Ватсон, часть 2, в конце гл.17 в примере 8 приведена формула для суммы ряда $J_1(x)+J_3(x)+J_5(x)+\dots$

[Vince Diesel]

А для четных математика дает

$$ \sum _{k=0}^{\infty } J_{2 k}(z)=\frac{1}{2} (J_0(z)+1). $$

[svv]

Напоследок я Вас ещё "утешу". Вот Вы получили повторный ряд. Естественно, хочется перегруппировать его, собирая элементы с одинаковыми степенями $z$. Но для каждой степени $z$ таких элементов будет бесконечное количество, и соответствующий ряд будет расходиться. Так что в Вашем вопросе многочлены Ломмеля всё равно не помогли бы.

[volchenok]

Я изначально тоже решил посмотреть на этот ряд в пакете символьной математики. Но я работаю в Maple и он не помог мне, даже в случае четных индексов. Mathematica смогла упростить только случай четных индексов. В случае же нечетных индексов получается, что мы заменяем проблему вычисления ряда, проблемой вычисления интеграла. Ну и самая главная проблема - суммирование у меня начинается не с нуля, а советы даны только для рядов, в котором суммирование начинается либо с 0, либо с 1.

[Vince Diesel]

Ну так это все равно с точностью до конечного числа слагаемых. Скажем

$$ \sum _{k=n}^{\infty } J_{2 k}(z)=\frac{1}{2} (J_0(z)+1)-\sum _{k=0}^{n-1} J_{2 k}(z). $$

и это уже не упростится (кроме коэффициента при $J_0$).