2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Атья, К-алгебра
Сообщение21.02.2016, 13:41 


06/12/12
24
6я задача первой главы:
В кольце $A$ любой идеал не содержащийся в нильрадикале, содержит идемпотент. Доказать что нильрадикал $\eta (A)=\sqrt{(0)}$ совпадает с радикалом Джекобсона $R(A)$
Нильрадикал это пересечение всех простых идеалов или же это множество всех нильпотентных элементов (это я знаю и умею доказывать)
Радикал Джекобсона это пересечение всех максимальных идеалов. Так же эквивалентное условие что $x\in R(A) \Leftrightarrow \forall y\in A, 1-xy $ обратим.
Что я делал, включение $\eta (A)\subseteq R(A)$ очевидно (т.к. каждый максимальный идеал - простой), в обратную сторону есть трудности.
В основном ход моих рассуждений был примерно такой:
Пусть $x\in R(A)$, тогда предположим что $x\notin \eta (A)$, тогда $ \exists a \in A, (ax)^2 = ax$ (тут просто берем главный идеал порожденный $x$ и тогда в нем есть идемотенты) и далее я пробовал как то опровергнуть что элемент $1-ax$ обратим и на этом моменте особо идей никаких не было (только неформальная в стиле как то построить многочлен от какой-то переменной, в котором в качестве коэффициентов будет мой $x$ с возможными степенями (и только он, возможно со степенями), причем этот многочлен должен быть обратимым, тогда если обратимым будет многочлен, это будет эквивалентно что $a_0$ обратим, а все его коэффициенты - нильпотенты, но опять же нет идей каким образом такой многочлен можно построить)

 Профиль  
                  
 
 Re: Атья, К-алгебра
Сообщение21.02.2016, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Из $(ax)^2 = ax$ следует, что $1 - ax$ является делителем нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Атья, К-алгебра
Сообщение21.02.2016, 14:09 


06/12/12
24
Аааа если мы домножим на $ax$, то получим что $(1-ax)\cdot ax = 0$, но $1-ax$ обратим и тут противоречие!
Спасибо, почему я сразу не домножил на $ax$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group