производная ограниченной функции

[ildar1]

Функция $f(x,y)$ ограничена и аналитична по вещественным переменным $x$ и $y$ во всей плоскости (x,y). Что можно сказать о ее производных по $x$ и $y$: будут ли они ограничены во всей плоскости или есть какие-то ограничения на рост на бесконечности? Например, для функции $\exp(-x^2-y^2)\le1$, ограниченной во всей плоскости, все производные ограничены и даже стремятся к нулю на бесконечности.

[Otta]

Ограниченную функцию состряпать легко. Ограниченную функцию с неограниченной производной - тоже. Например, $f(x)=\sin x^2$. Ограниченную функцию с другим, неполиномиальным ростом производной, - тоже. Ясно как. Две переменные тут вообще ни при чем и погоды не делают, тем более, что речь о частных производных.

[ildar1]

Спасибо за ответ

[Vince Diesel]

Можно модифицировать вопрос так, чтобы получить противоположный ответ Если целая функция конечного порядка ограничена на прямой, то и все ее производные тоже (необязательно одной и той же константой). Синус, например, целая функция порядка один.