Дифференцирование экспоненты

[fronnya]

Как $\frac{\partial}{\partial x} H_0 e^{-ik_y y}$ может оказаться равным $-ik_x H_0 e^{-ik_y y}$ ? Почему эта производная не равна нулю?

[Munin]

fronnya в сообщении #1100962 писал(а):

Как $\frac{\partial}{\partial x} H_0 e^{-ik_y y}$ может оказаться равным $-ik_x H_0 e^{-ik_y y}$ ?

Постойте, а где в этом отрывке такое сказано?

А, в роторе опечатка. Разумеется, там должно стоять

$$\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ H_{0x}e^{-i\vec{k}\vec{r}} & H_{0y}e^{-i\vec{k}\vec{r}} & H_{0z}e^{-i\vec{k}\vec{r}} \\ \end{vmatrix}$$

Вы могли бы сами выписать предыдущий шаг выкладок, и убедиться.

Что за книжка?

[svv]

Munin
Д. И. Пеннер, В. А. Угаров. Электродинамика и специальная теория относительности.

fronnya
Не пренебрегайте формулами векторного анализа. Автор о них знает, но умалчивает. Нам надо найти ротор векторного поля $\mathbf H=\mathbf H_0 e^{i\varphi}$, где $\varphi=\omega t-\mathbf k\mathbf r$. Применим формулу $\operatorname{rot}(a\mathbf b)=a\operatorname{rot}\mathbf b+[\operatorname{grad}a,\mathbf b]$, получим

$$\operatorname{rot}\mathbf H=\begin{xy}*{ e^{i\varphi} \operatorname{rot}\mathbf H_0};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}+[\operatorname{grad}e^{i\varphi},\mathbf H_0]$$

Так как $\mathbf H_0$ постоянный вектор, его ротор равен нулю, и потому слагаемое зачеркнуто.
Разберёмся с градиентом. По формуле производной сложной функции

$$\operatorname{grad}e^{i\varphi}=\frac {de^{i\varphi}}{d\varphi}\operatorname{grad}\varphi=ie^{i\varphi}\operatorname{grad}(-\mathbf k\mathbf r)$$

Уже только это позволяет написать

$$\operatorname{rot}\mathbf H=-i[\operatorname{grad}(\mathbf k\mathbf r),\mathbf H]\;,$$

где в правой части $\mathbf H_0 e^{i\varphi}$ опять объединено в $\mathbf H$.

[fronnya]

Munin, я потом сделал все как надо, когда уже запостил это. Да, просто опечатка.

[Munin]

svv в сообщении #1101200 писал(а):

Д. И. Пеннер, В. А. Угаров. Электродинамика и специальная теория относительности.

Не зря я не любил этой книжки.

svv
Ну что ж вы до конца-то не доводите! $\operatorname{grad}(-\mathbf k\mathbf r)$-то добейте!

-- 22.02.2016 16:26:40 --

fronnya
Без электродинамики: Тейлор-Уилер.
С электродинамикой: ФЛФ-2,3,6, ЛЛ-2.

[svv]

Munin
Ну Вы определённо хотите, чтобы меня забанили.

Надо ж хоть небольшой кусочек оставить на самостоятельное выполнение. Я обычно использую одну из двух стратегий (в тех случаях, разумеется, когда вообще что-то могу сказать по вопросу). Либо описать весь путь, но не очень подробно. Либо подробно, но только часть.

(Прорыть траншею по всей длине, но не до проектной глубины. И наоборот.)

[Munin]

svv

Точно! Я и забыл про это правило :-)