Несколько вопросов по обобщенным координатам и связям

[fronnya]

Просто хочу понять, правильно ли я рассуждаю, а то не уверен.
1. Охарактеризовать связи, указать число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты для механической системы из двух материальных точек, расстояние между которыми изменяется по закону $l=l_0+a\cos\omega t, l_0>0, a>0$
На счет связи: в соответствии с определениями я говорю, что это удерживающая, голономная, стационарная связь, о трении не говорилось, так что ещё и идеальная.
О степенях свободы.
Рассмотрим три случая: одномерное, двумерное и трехмерное движение.
1) Одномерное
Уравнения связей: $y_1=0$, $z_1=0$, $l=l_0+a\cos\omega t$, $y_2=0$, $z_2=0$. Итого имеем $s=6-5=1$ степень свободы, значит, нужно выбрать одну обобщенную координату. Например, положение первой частицы $x_1$, если мы его знаем, то положение второй определим по уравнению связи.
2)Двумерное
Уравнения связей: $l=l_0+a\cos\omega t$, $z_1=0$, $z_2=0$ итого 3 степени свободы, за обобщенные координаты, например, беру $x_1$, $y_1$, $\varphi$, где $\varphi$- угол между осью $OX$ и направлением от частицы 1 к частице 2.
3)Трехмерное движение
Уравнение связи одно: $l=l_0+a\cos\omega t$, тогда $s=5$, $q_1=x_1, q_2=y_1, q_3=z_1, q_4=\varphi, q_5=\theta$, где $\varphi,\theta$- углы сферической системы координат.

[Munin]

Писать $y_1=0,z_1=0,y_2=0,z_2=0$ не нужно - у вас этих переменных в 1-мерном и 2-мерном случае вообще изначально нет. Это абстрактное, нефизическое рассмотрение, вымышленное 1-мерное или 2-мерное пространство.

Почему связь стационарная?

Хорошо бы иметь ещё условие $l_0>a$...

Обобщённые координаты у вас нормальные, но в физике часто удобнее выбрать не положение первой частицы, а положение центра масс.

[fronnya]

Munin в сообщении #1099729 писал(а):

Почему связь стационарная?

Оёй, совсем не стационарная, я понимаю смысл этого слова, связь на самом деле нестационарная, тут явная зависимость от времени.

Munin в сообщении #1099729 писал(а):

Хорошо бы иметь ещё условие $l_0>a$

Чтоб не врезались?

Munin в сообщении #1099729 писал(а):

Обобщённые координаты у вас нормальные, но в физике часто удобнее выбрать не положение первой частицы, а положение центра масс.

В трехмерном случае ввожу для трех координат положение центра масс+два угла сферических? И что эти углы тогда показывать будут?

Munin в сообщении #1099729 писал(а):

Писать $y_1=0,z_1=0,y_2=0,z_2=0$ не нужно - у вас этих переменных в 1-мерном и 2-мерном случае вообще изначально нет. Это абстрактное, нефизическое рассмотрение, вымышленное 1-мерное или 2-мерное пространство.

Я не знаю, как по-другому число связей считать. Это разве неправильно?

[Munin]

fronnya в сообщении #1099759 писал(а):

Чтоб не врезались?

:-)

Чтобы в момент пересечения нуля не возникало неопределённости, куда направлена линия между частицами.

fronnya в сообщении #1099759 писал(а):

В трехмерном случае ввожу для трех координат положение центра масс+два угла сферических? И что эти углы тогда показывать будут?

Направление линии от первой частицы ко второй. Как и раньше. А что?

fronnya в сообщении #1099759 писал(а):

Я не знаю, как по-другому число связей считать. Это разве неправильно?

Правильно, но можно было сказать так: "в 1-мерном случае имеем по 1 координате на каждую частицу, итого 2; связь вычитает одну, получается 1 степень свободы".

Понимаете, ваш метод работает в 1- и 2-мерном случае, но если завтра вам понадобится рассмотреть 4-мерный или 11-мерный, то вы споткнётесь :-)

[fronnya]

Munin в сообщении #1099870 писал(а):

Правильно, но можно было сказать так: "в 1-мерном случае имеем по 1 координате на каждую частицу, итого 2; связь вычитает одну, получается 1 степень свободы".

Понимаете, ваш метод работает в 1- и 2-мерном случае, но если завтра вам понадобится рассмотреть 4-мерный или 11-мерный, то вы споткнётесь

Согласен, сначала я так и считал, но потом увидел, что наш лектор просто накладывает связи типа $z=0$ и т.д. И не понял, как правильней все таки более общо.

[Munin]

Несколько странно со стороны лектора. Но в других случаях его метод может работать лучше. И уж точно не стоит его переспоривать :-)

[Red_Herring]

Я подозреваю что лектор делает это из педагогических соображений--чтобы Вы понимали что вводя фиктивную координату ничего нового не получите. Этакая pain with no gain (хотя и небольшая)

[fronnya]

Уж с лектором нам повезло по теоретической механике, без сарказма, замечательный педагог.