Сумма с биномиальными коэффициентами (гамма-функциями) ?

[Divergence]

Проверяя (подстановкой степенной функции с показателем $\beta$) форумулу (15.4) Леммы 15.3 из книги Самко-Маричева, получил, что формула верна, если верно уравнение

$$\sum^{\infty}_{n=0} \frac{\Gamma (\alpha+1)}{\Gamma(n+1) \, \Gamma (\alpha-n+1) \, \Gamma (n+1-\alpha)} \frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta+1-n)} = \frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta+1-\alpha)} \qquad (1)$$

где $\beta \ge \alpha >0$.

Однако не удается доказать это уравнение.
Все что смог, это использовать формулу $ \Gamma(1+z) \Gamma(1-z)=\pi z/\sin(\pi z)$ записать уравнение в виде

$$\sum^{\infty}_{n=0} \frac{\Gamma (\alpha+1)}{\Gamma(n+1) \, \Gamma(\beta+1-n)} \frac{\sin \pi(n-\alpha)}{\pi(n-\alpha)} = \frac{1}{\Gamma(\beta+1-\alpha)}, \qquad (2)$$

и эквивалентном красивом виде

$$\sum^{\infty}_{n=0} \binom {\beta} {n} \frac{\sin \pi(n-\alpha)}{\pi(n-\alpha)} = \binom {\beta} {\alpha} , \qquad (3)$$

где $\binom {\beta} {n}$ - биномиальные коэффициенты (Справочник Прудников, Брычков, Маричев Том 3, стр.647).

Для натуральных $\beta=m \in \mathbb{N}$, используя формулу $ \binom {m} {n} =0$ для $n>m$ с указанной страницы 647, записал

$$\sum^{m}_{n=0} \binom {m} {n} \frac{\sin \pi(n-\alpha)}{\pi(n-\alpha)} = \binom {m} {\alpha} . \qquad (4)$$

Был бы признателен, если подсказали бы как доказать формулу (3) для положительных $\beta \ge \alpha$ (и/или (4) или (1)) !

[Otta]

Divergence в сообщении #1100366 писал(а):

Проверяя (подстановкой степенной функции с показателем $\beta$) форумулу (15.4) Леммы 15.3 из книги Самко-Маричева, получил, что формула верна,

А что за формула-то?
Потому что выписанное

Divergence в сообщении #1100366 писал(а):

$$\sum^{\infty}_{n=0} \frac{\Gamma (\alpha+1)}{\Gamma(n+1) \, \Gamma (\alpha-n+1) \, \Gamma (n+1-\alpha)} \frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta+1-n)} = \frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta+1-\alpha)} \qquad (1)$$

мне не нравится совсем: как Вы будете суммировать по всем неотрицательным $n$, если в область определения попадают только $n\colon \alpha-1<n<\alpha+1$ (не считая других ограничений), если не имеется в виду, конечно, аналитическое продолжение гаммы куда можно, что непохоже.

[Divergence]

Дословное воспроизведение Леммы 15.3 (книга Самко-Килбас-Маричев, стр 215):
Если функция $f(x)$ аналитична в интервале $(a,b)$, то есть представима в виде сходящегося степенного ряда в этом интервале, то производная Римана-Лиувилля порядка $ \alpha >0$ представима в виде

$$ {\cal D}^{\alpha}_{a+} f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} \binom {\alpha} {n} \frac{(x-a)^{n-\alpha}}{\Gamma (n+1-\alpha)} f^{(n)}(x) \quad x \in (a,b) \qquad (15.4) , $$

где

$$ \binom {\alpha} {n}= \frac{\Gamma (\alpha+1)}{\Gamma(n+1) \, \Gamma (\alpha+1-n)} . $$

Формулы (2.30) и (2.44) из той же книги

$$ {\cal D}^{\alpha}_{a+} (x-a)^{\beta} =\frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta+1-\alpha)} (x-a)^{\beta-\alpha} ,$$

где $\beta>-1$.

Для проверки от себя добавил только $\beta \ge \alpha$, и

$$ \Bigl( (x-a)^{\beta} \Bigr)^{(n)} = \frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta+1-n)} (x-a)^{\beta-n} .$$

Подставляя все эти формулы в (15.4) получил (1).

[ex-math]

А чем Вас не устраивает ссылка на лемму? Вы хотите найти доказательство попроще? Не факт, что оно есть.

[Divergence]

Меня интересует как можно доказать красивые формулы:

$$\sum^{\infty}_{n=0} \binom {\beta} {n} \frac{\sin \pi(n-\alpha)}{\pi(n-\alpha)} = \binom {\beta} {\alpha} , \qquad (3)$$

$$\sum^{m}_{n=0} \binom {m} {n} \frac{\sin \pi(n-\alpha)}{\pi(n-\alpha)}= \binom {m} {\alpha} . \qquad (4)$$

без использование дробной экзотики. А верна ли формула (3) для нецелого $\beta$ или верна только формула (4)?
(Почему-то эти формулы отсутствуют в Справочнике Прудников, Брычков, Маричев, хотя один из авторов книги и справочника одно и тоже лицо. Отмечу что в справочнике (том 1) много формул с биномиальными коэффициентами)
Действие выражения

$$\delta_{n,\alpha}:= \frac{\sin \pi(n-\alpha)}{\pi(n-\alpha)}$$

выглядит как похожим на действие дельта функции...

[Otta]

Я уже поломаюсь скоро от попыток понять, в чем проблема ))
Вы берете формулу (15.4), подставляете туда в качестве $f(x)=(x-a)^\beta$, преобразуете, получаете равенство (1). Оно верно, по лемме и формуле производной степенной функции. Дальше Вы химичите с этим равенством, и получаете что-то еще. Все в порядке, если понимать все функции в смысле их аналитических продолжений.

А проблема-то в чем? Я чего-то упорно не понимаю, ей-богу.

[Divergence]

Еще раз с начала. Хотел проверить Лемму 15.3 на простом примере степенной функции, прямой подстановкой, и не смог - уперся в тождество, которое не могу доказать сам.
Вы же предлагаете доказывать тождество с помощью Леммы.
А других доказательств этого тождества нет?

[whitefox]

Divergence в сообщении #1100415 писал(а):

А других доказательств этого тождества нет?

Может "Конкретная математики" поможет? Там Кнут много всяких тождеств с биномиальными коэффициентами рассматривает.

[Divergence]

Спасибо за совет. Скачал.
С синусами там ничего нет - только совет воспользоваться формулой синуса разности углов на странице 242.

[whitefox]

Ваша формула (1) без синусов. Кнут приводит метод представления подобных рядов в виде гипергеометрической функции. Для последней могут найтись явные выражения. Далее Кнут рассматривает метод построения дифференциального уравнения для таких функций. Его можно попробовать решить.

[Divergence]

Спасибо, надо подумать, но не у верен что удастся додуматься.

[Vince Diesel]

Можно попробовать преобразовать (4) так. Заметив, что

$$ \frac{\sin \pi(n-\alpha)}{(n-\alpha)}=\operatorname{Re}\int_0^\pi e^{i(n-\alpha)t}\,dt $$

и

$$ \sum^{m}_{n=0} \binom {m} {n}e^{i(n-\alpha)t}=e^{-i\alpha t}(1+e^{ i t})^m, $$

получим для левой части выражение

$$ \frac1\pi\operatorname{Re}\int_0^\pi e^{-i\alpha t}(1+e^{ i t})^m\,dt. $$

То же самое для (3), если формально заменть целое $m$ на $\beta$. Мб этот интеграл легче посчитать ,чем исходный ряд, но математика выдает какой-то не очень простой ответ.

[Divergence]

Спасибо.
Под математикой вы имеете ввиду https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics ?
Wolfram дал ответ только для $m=1$, который странноват.
А посмотреть ваш ответ возможно?

[Vince Diesel]

Divergence в сообщении #1100467 писал(а):

Под математикой вы имеете ввиду https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics ?

Wolfram Mathematica

Ответ при $\operatorname{Re}\beta>-1$:

$$ i \left((-1)^{\alpha } B_{-1}(-\alpha ,\beta +1)-\frac{e^{-i \pi \alpha } \Gamma (-\alpha ) \Gamma (\beta +1)}{\Gamma (-\alpha +\beta +1)}\right) $$

ConditionalExpression[ I*((-1)^\[Alpha]*Beta[-1, -\[Alpha], \[Beta] + 1] - (Gamma[-\[Alpha]]*
       Gamma[\[Beta] + 1])/(E^(I*Pi*\[Alpha])*Gamma[-\[Alpha] + \[Beta] + 1])), Re[\[Beta]] > -1]

[sergei1961]

Разложение (3) относится к специальному разделу теории функций/теории приближений. Это разложение функции по так называемым синк-функциям. Есть специальная литература и хорошие книжки. Это как бы "дети" формул Уиттекера-Котельникова.