Симплициальная реализация окружности

[lt3km]

Правильно ли я понимаю что когда говорят Симплициальная реализация окружности
Иммется ввиду симплекс построенный с учетом того что окружность то же что треугольник.

Ведь иначе не понятно как можно строить выпуклые оболочки, ведь точки надо соединять отрезками а на окружности не одного отрезка не нарисуешь.

[zkutch]

решил ответить, так как, ответов нет.

Прокоментирую ваше второе предложение: как известно выпуклая оболочка множества совпадает с множеством всевозможных линейных комбинаций точек из исходного множества. И n-шар является выпуклой оболочкой ограничивающей его (n-1)-сферы - но это не требует рисовать отрезки на сфере.

Касательно же первого предложения, может вы уточните вопрос, или приведете источник относительно которого задается вопрос.

[lt3km]

Не здесь я иммел ввиду k-мерный сиплекс - это выпуклая оболочка k+1 точки общего положения
Т.е. k=1 это отрезок k=2 треугольник k=3 тетрайдер и т.д.
Ну а симплициальный комплекс нечто склеенное из этих k-мерных сиплексов ну конечно так чтоб пересечения покрывались сиплексами меньших размерностей.

А источник это некие распечатки семинарских занятий. Тема их гомологии и проситься на первых страницах посчитать симплициальные гомологии окружности то есть в R2. Ну поскольку гомологии сиплициальные то надо построить сиплициальный комплекс являющийся окружностью. Не ну понятно что раз гомологии это гомотопический инвариант то гомеоморфность окружности и треугольника позволяет считать гомолгии треугольника а треугольник и есть комплекс ну вот такой {0} {1} {2} {01} {02} {12}.

[Кордер]

Дорогой It3km, вы несколько путаете понятие топологического пространства(и соответственно комплекса) и вложения многообразия в евклидово пространство. Так вот, если вы работаете с окружностью в обычном школьном понимании, то перед вами имеется многообразие, которое само уже является подмногообразием чего-то, в данном случае плоскости. Так вот вам надо разбить её на куски гомеоморфные одномерным симплексам. Треугольник с введённой стандартной топологией гомеоморфен окружности, а значит пропуская симплекс через треугольник вы получаете комплекс на окружности.И не проводить никаких отрезков.

[lofar]

Определние. Для любого топологического пространства $X$ сингулярным $n$-мерным симплексом $T$ в $X$называется непрерывное отображение $T\colon\Delta^n\to X$ (С. Маклейн, Гомология).

Здесь $\Delta^n$ --- обычный $n$-мерный симплекс в $\mathbb R^{n+1}$. Иногда слово "сингулярный" опускают.

В Вашем случае симплекс в $S^1$ можно представлять как три точки на окружности: $(0), (1), (2)$ (расположенные, например, против часовой стрелки) и три дуги их соединяющие: $(01), (12), (20)$. С точки зрения гомологии, обозначения и порядок не важны, важен лишь граничный гомоморфизм $d$ на свободной абелевой группе $C(S^1)$ порожденной шестью элементами $(0), (1), (2), (01), (12), (20)$. Он задается следующими соотношениями

$$ d((01)) = (1) - (0),\; d((12)) = (2) - (1),\; d((20)) = (0) - (2), $$

$$ d((0)) = d((1)) =d((2)) = 0. $$

Группа гомологий равна $H(S^1)=Ker(d)/Im(d)=<(0)>_{\infty}\oplus<(01)+(12)+(21)>_{\infty}$. Замечателен тот факт, что группа гомологий не зависит от выбора комлекса и его фактической реализации. Например, можно было ограничиться двумя точками $(0), (1)$ и двумя дугами $(01), (10)$.

[lt3km]

[quote="lofar"]Определние. Для любого топологического пространства $X$ сингулярным $n$-мерным симплексом $T$ в $X$называется непрерывное отображение $T\colon\Delta^n\to X$ (С. Маклейн, Гомология).

Ну после этого определения вроде бы становиться все яснее но не совсем понятно тогда приципиальной разницы с сингулярными гомологиями...
Спасибо буду разбираться дальше.

[Someone]

Цитата:

В Вашем случае симплекс в $S^1$ можно представлять как три точки на окружности

Одномерный симплекс - это отрезок. Окружность можно "склеить" из трёх симплексов.

[lofar]

Someone, Вы правы, в указанной Вами фразе допущена ошибка. Слово "симплекс" надо заменить на "комплекс".

[Someone]

Цитата:

... от выбора комлекса и его фактической реализации. Например, можно было ограничиться двумя точками $(0), (1)$ и двумя дугами $(01), (10)$.

Если бы только такому выбору не препятствовало определение симплициального комплекса: пересечение любых двух симплексов должно быть симплексом (если оно, конечно, непусто).