Мартин Гарднер, Математические новеллы.
Другой, несколько неожиданный метод упорядочения и счета положительных рациональных чисел был предложен американским логиком Чарлзом С. Пирсом. Возьмем две дроби —
![$0/1$ $0/1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/6/9c640076943281161c43dc6a58ea959082.png)
и
![$1/0$ $1/0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/5/5b5d2a8ed92af5a6e23b360363f4ebb982.png)
(вторая дробь не имеет смысла, но для наших целей это обстоятельство несущественно). Образуем новую дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель — сумме знаменателей двух исходных дробей, и поместим ее между ними:
![$0/1, 1/1, 1/0$ $0/1, 1/1, 1/0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/1/38101152f8bbe057d43f56834b83cbba82.png)
. Проделав только что выполненные операции над каждой парой дробей, стоящих рядом, получим
![$$\frac 01\;\frac 12\;\frac 11\;\frac 21\;\frac 10$$ $$\frac 01\;\frac 12\;\frac 11\;\frac 21\;\frac 10$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/0/6504332324897c46658d428160e0287182.png)
В свою очередь эти пять дробей превращаются в девять дробей
![$$\frac 01\;\frac 13\;\frac 12\;\frac 23\;\frac 11\;\frac 32\;\frac 21\;\frac 31\;\frac 10$$ $$\frac 01\;\frac 13\;\frac 12\;\frac 23\;\frac 11\;\frac 32\;\frac 21\;\frac 31\;\frac 10$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/5/c35717f22ccb6d05c24fd98a8984291782.png)
и т.д.
В получающейся бесконечной последовательности каждое рациональное число будет встречаться один и только один раз, причем в несократимом виде. Метод Пирса делает излишним вычеркивание таких дробей, как, например,
![$10/20$ $10/20$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/0/5902bfa2d2c51163137855268628070882.png)
, эквивалентных более простым дробям, также представляющим рациональные числа. При использовании метода Пирса сократимые дроби не появляются. При использовании же других методов упорядочения рациональных чисел исключение дробей, числитель и знаменатель которых содержат общие множители, просто необходимо, иначе одно и то же рациональное число будет сосчитано несколько раз. В методе Пирса происходит постепенное, шаг за шагом, «замазывание щелей» в ряду рациональных чисел, а дроби можно нумеровать в порядке их появления.
Конечно, выделенное (мной) утверждение требует доказательства.