Открытость сужения факторотображения

[Grabovskiy]

Здравствуйте.
Предположим, что есть хаусдорфово топологическое векторное пространство $X$, $E_1$ -- его замкнутое подпространство. Представим $X$ в виде прямой суммы $X = E_1 \oplus E_2$. Путь $X/_{E_1}$ есть факторпространство, $\pi$ есть факторотображение. Рассмотрим его сужение $\pi_{|E_2}$ на подпространство $E_2$.
Верно ли, что $\pi_{|E_2}$ открыто?

[Grabovskiy]

Вообще говоря, это неверно. В качестве $E_1$ можно взять ядро какой-нибудь непрерывной полунормы (взять пр-во, где хоть одна есть). Тогда факторпространство нормируемо, и если бы $\pi_{|E_2}$ было открыто, то это означало бы, что $\pi_{|E_2}$ является топологическим векторным изоморфизмом, из чего следует нормируемость $E_2$, чего может не быть. Мне, как начинающему, кажется интересным то, что векторная структура пространств $X/_{E_1}$ и $E_2$ идентична, а вот топологическая структура у пространства $X/_{E_1}$ (наверное, как правило) более богата. Например, если пр-во нехаусдорфово, то фактор может оказаться хаусдорфовым, а $E_2$ -- нет.