Как исследовать такой ряд крестьянскими методами?

[Highwind]

$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}exp[-n^1^/^5]((n+3)/(n^2+5))^1^/^3 $

[Someone]

Highwind писал(а):

$e^{-n^{1/5}}*((n+3)/(n^2+5))^{1/3}$

Я Вашу формулу подредактировал. Правильно?

Что имеется в виду? Сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}e^{-\sqrt[5]{n}}\sqrt[3]{\frac{n+3}{n^2+5}}$?

Поскольку $0<\sqrt[3]{\frac{n+3}{n^2+5}}<1$, то $0<e^{-\sqrt[5]{n}}\sqrt[3]{\frac{n+3}{n^2+5}}<e^{-\sqrt[5]{n}}$, и из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}e^{-\sqrt[5]{n}}$ по первому признаку сравнения следует сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}e^{-\sqrt[5]{n}}\sqrt[3]{\frac{n+3}{n^2+5}}$.
А сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}e^{-\sqrt[5]{n}}$ можно доказать с помощью интегрального признака Коши.